Re: [積分] 請問這題該怎麼算
※ 引述《kensite702 (讀書人)》之銘言：
: ∫(x+1)^1/3 dx
: ---------
: x+3
: 小弟剛學不久^^"希望有大大幫忙解答
講一個大概的過程 詳細的數字你就自己算了~
let x+1= u^3 dx=3u^2 du
∫ 3u^3 / (u^3 + 2 ) du = ∫ 3 - 6/(u^3+2) du
= 3u - 6 * ∫ 1/(u^3+2) du
所以後面那個會積就ok了~~
令 b = 2^(1/3)
∫ du/(u^3+2) = ∫ 1/[(u+b)(u^2 - ub + b^2 )]
p qu+r
= ∫ -------- + ------------- du ( p.q.r 常數)
u + b u^2 - ub +b^2
p( u^2 - ub +b^2) + (qu+r)(u+b) = 1
=> p+q=0 . -pb + bq + r = 0 . pb^2 + rb = 1
三個方程式可以解三個未知數，所以 p . q. r 現在是已知常數
=> ∫ p/(u+b) = p* ln(u+b) + constant
=> ∫ (qu+r)/(u^2 - ub + b^2 ) du
(q/2)(2u-b) + ( r+ qb/2)
= ∫ ---------------------------- du
(u^2 - ub + b^2 )
(q/2)(2u-b) r + qb/2
= ∫---------------- + ----------------- du
(u^2 - ub + b^2 ) (u^2 - ub + b^2 )
= (q/2) * ln(u^2 -ub + b^2) + A
A = [r +(qb/2)] * ∫ du/ (u^2 - ub + b^2 )
∫ du/ (u^2 - ub + b^2)
= ∫ du/[(u - b/2)^2 + (3b^2)/4]
2 -1 2
= ------ tan [ ----- * (u - b/2) ] + Constant (*)
√3 b √3 b
-1
(*) ∫ dx/(x^2 + a^2) = (1/a) * tan ( x/a) + Constant
這題真的好麻煩
不過真的考到好多解積分的技巧
代數變換 分數積分 分母與分子配項 反三角函數積分
剛學會遇到這麼難的題目嗎@@
我記得剛學的時候
老師考 ∫sin^3 x dx
我都不會Orz...
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它也會終結別處的痛楚
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