Re: [考古] 98臺大(b)第11題
※ 引述《henry9621205 (清心小子)》之銘言：
: 求線積分
: ∫c yz^2dx + (xz^2+ze^yz )dy + (2xyz + ye^yz + 1/(1+z))dz
: C: r(t) = t i + t^2 j + t^3 k 0 =< t =< 1
: 不太會算線積分 謝謝!
原式可改為 ∫C F(x,y,z)dr => 聯想到功
恩 有兩種做法
第一種就是直接積...
當然如果有時間的話 也可以試試看
第二種就是用些技巧 如: GREEN 或一些性質
這題線積分 區域C非封閉 -> GREEN失效
故只能改看看F(X,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k場是否保守
故我們檢查Curl F = 0 是否成立
如果成立 則 找出位勢函數 帶入初末位置 即可
如果否 則能回到第一種作法
| i j k |
所幸 Curl F =| x' y' z' | = 0 ( 這邊就省略計算囉)
| M N P | x' y' z' 表 對其偏微分
Curl F = 0 <-> F=▽g
然後 我們先找出位勢函數
▽g = (gx',gy',gz')
gx' = M(x,y,z)
對X積分 g = xyz^2 + h(y,z)
g對Y偏微後 和N(x,y,z) 比較
xz^2 + h '(y,z) = xz^2 + ze^(yz)
則對h '(y,z) 對Y積分 得 e^(yz) + K(z) => g=xyz^2+e^(yz)
然後 再次偏微分Z 和對P(x,y,z) 比較
則得知 K(z) = ln(1+z) + c
=> g=xyz^2+e^(yz) + ln(z+1) +c (初位置 = (0,0,0) 末位置 =(1,1,1))
| (1,1,1)
所求 = g | = e + ln(2)
| (0,0,0)
一些細節 像CURL F=0 和位勢函數的關係 跟線積分 如果不熟
建議翻課本 會說的比我清楚:)
不過有些功 直接積分 有時候會比轉位勢函數還快哦!
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※ 編輯: rygb 來自: 114.34.122.244 (07/06 19:20)
推
07/06 19:30, , 1F
07/06 19:30, 1F
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