Re: [積分] 政大考古題 一題積分
原題：∫√(xsinx)dx 下限0 上限pi/2
利用積分均值定理：
b
∫ f(x)dx = f(c)(b-a)
a
b b
→ ∫ f(x)g(x) = f(c)∫ g(x)dx
a a
利用Beta積分格式：
1
∫x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx = B(p,q)
0
令 x = sin^2 θ, dx = 2sinθcosθdθ
2pi
則 B(p,q)= 2∫ (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ
0
2pi 1 Γ(p)Γ(q)
得 ∫ (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ = ───────
0 2 Γ(p+q)
然後取 f(x) = √x
pi/2 │pi/2
√c = 2/pi ∫ √x dx = 2/pi * 2/3 * x^(3/2) │
0 │0
= 2/pi *(pi/2)^(1/2)
pi/2
再看 ∫ √(sinx)dx = 依照上述是為 p=3/4，q=1/2
0
pi/2
最後得原題 ∫ √(x*sinx)dx
0
pi/2
= √c∫ √(sinx)dx 結合上述
0
Γ(3/4)Γ(1/2)
= 2/3 * (pi/2)^(1/2) * 1/2 * ────────
Γ(5/4)
大概就是這樣吧，不知道有沒有打錯的地方，
我不太清楚這種是叫數值解還解析解XDD
解答來源相信應該不少人知道＝ˇ＝
這種題目當場做應該沒有幾個人做得出來吧？（好啦我承認我想不到..）
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◆ From: 114.25.0.199
※ 編輯: CDnow 來自: 114.25.0.199 (07/04 01:09)
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