Re: [函數]奇偶函數證明
※ 引述《lililiu (lily)》之銘言：
: 已知f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)
: g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)
: g(x)^2-f(x)^2=1
: 試證 g(-x)=g(x) f(-x)=-f(x)
: 其實不關微積分的事耶@@
: 只是想了一整天也證不出來
: 請各位大大教教我
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┌ f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)
└ g(x+y) = g(x)g(y) + f(x)f(y)
兩式相加: f(x+y) + g(x+y) = [f(x)+g(x)][f(y)+g(y)] ____(1)
將 (1)式的 (x,y) transform 到 (x+y,-y)
可以得到: f(x) + g(x) = [f(x+y)+g(x+y)][f(-y)+g(-y)] ____(2)
接著 (1)(2) 式相乘:
[f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)] = 1
→ f(y) + g(y) = g(-y) - f(-y) by the fact that g(-y)^2 - f(-y)^2 = 1
→ f(y) + f(-y) = g(-y) - g(y)
所以存在一函數 h(t)
使得 h(t) = f(t) + f(-t) = g(-t) - g(t)
接著就是討論 h(t) 的特性:
由 h(t) = f(t) + f(-t) 可知 h(t)=h(-t)
由 h(t) = g(-t) - g(t) 可知 h(t)=-h(-t)
因此 h(t)=0 for all t in that domain
→ ┌ f(t) = -f(-t)
└ g(t) = g(-t)
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補述一下
(1)(2)式相乘後
原本會得到 z(x,y) = z(x,y)[f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)]
其中 z(x,y) = [f(x)+g(x)][f(x+y) + g(x+y)]
要推論到 [f(y)+g(y)][f(-y)+g(-y)] = 1 的先決條件是 z(x,y)≠0
所以要根據題目給的 g(x)^2 - f(x)^2 = 1
來說明 z(x,y) 不可能會等於 0
算是小細節要注意的地方
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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (03/12 16:41)
推
03/12 23:26, , 1F
03/12 23:26, 1F
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