Re: [積分] 一題
※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 1
: ∫------------------------------dx
: { (x+1)^2(x-1)^4 }^(1/3)
: 書上的方法太特殊了@@
: 想看看大家有沒有其他解法
: 感謝分享
這裡選擇做有理函數的變換是有動機的
如果拆成這個樣子看
會更清楚
dx
∫--------------------------------------- ------------(1)
{ (x+1)^(3-1) * (x-1)^(3+1) }^(1/3)
dx
= ∫------------------------------------- ----------(2)
x-1
(x+1)(x-1) [-----]^(1/3)
x+1
x-1 2
u = ----- = 1 - ---
x+1 x+1
dx
du = 2 ------- ----------- (3)
(x+1)^2
dx
= ∫------------------------------------- -----------(4)
x-1 x-1
(x+1) [-----] (x+1) [-----]^(1/3)
x+1 x+1
做u的變換保證 一次 就積得出來的條件是必須具有(1)的形式
(1)的形式確保了很多條件的成立
(1)的形式一做出來 (2)就給你u這種變換的動機
但是只有這樣還不足以告訴你u變換是可行的
du產生(x+1)^2
(1)又產生(4)可以提出(x+1)^2
兩者剛好消去
所以保證做出u的變換 一次 就可積得出來
至於比(1)的形式還要稍微寬鬆一點
還可以保證一定是有理函數可積得出來
只是會很繁
但是仍要先做u的變換
只是之後還得靠分式分解
最後才能得出不定積分
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◆ From: 122.124.100.60
推
10/29 23:41, , 1F
10/29 23:41, 1F
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10/30 00:01, , 2F
10/30 00:01, 2F
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