Re: [考古] 中正97年 電機系
※ 引述《egg790724 (雞蛋)》之銘言：
: Let R be region in the first-quadrant bounded by x^2+y^2=4 , x^2+y^=9 ,
: x^2-y^2=1 , and x^2-y^2=4. Then ∫∫xy dxdy= ?
: R
: 這個圍起來的圖形是怎樣呢@@?
: 有沒有不畫圖的方法@@?
: 先謝謝大家了
Jacobian 就是當座標由xy-axis轉換成uv-axis時，要同時乘上的東西
以這題為範例，令u=x^2+y^2以及v=x^2-y^2，
Jacobian通常簡寫成Ｊ，
１
Ｊ＝ ------------------------------------ ＞０
||(u對x偏微) (u對y偏微) ||
|| ||
||(v對x偏微) (v對y偏微) ||
裡面那層||是「外積」，外面||是絕對值，
由此題，
１ １
Ｊ＝ --------------- ＝ ------ ＝ 1/8xy >0
|| 2x 2y || |-8xy|
|| ||
|| 2x -2y ||
且由題目得知
4<=u<=9 以及 1<=v<=4
4 9
∫∫xy dxdy= ∫∫ xy * (1/8xy)dudv
R 1 4
應該就可以算了…!!
另外講一個令的方法，
通常有時看到題目感覺很像圓的方程式時候，會令成
x=rcosθ，y=rsinθ
此時的Jacobian不需要倒數(why?請試著理解..)
||cosθ -rsinθ||
J=|| || =r>0
||sinθ rcosθ||
所以為什麼每次換成圓時不是直接寫積分drdθ
而是要多乘一個r(drdθ)的原因在這裡....
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※ 編輯: shancool 來自: 59.115.77.9 (07/06 14:41)
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