Re: [積分] 分母的拆解
※ 引述《dododino (喔耶～)》之銘言：
: 今天如果要積
: 1 ? ?
: ∫------------dx = ∫-------dx +∫------dx +C
: (x-3)(x+4) (x-3) (x+4)
: 這個我會用這樣算
: 1
: lim -------- = 1/7
: x->3 (x+4)
: 1
: lim -------- = -1/7
: x->-4 (x-3)
: 所以
: 1 (1/7) (-1/7)
: ∫------------dx = ∫-------dx +∫------dx +C
: (x-3)(x+4) (x-3) (x+4)
我不會用 lim 來算
我的算法將式子通分分子得到
1 = A(x+4) + B(x-3)
因為上式是一個恆等式也就是說不管 x 代甚麼數進去都會相等
當 x = 3 ==> 1 = 7A ==> A = 1/7
當 x = -4 ==> 1 = -7B ==> B = -1/7
: 那如果今天是
: 1 1 1 (-1/7) (-1/49) (1/49)
: ∫ -------------- dx = ∫(------- + ------ + ------)dx
: 0 (x+3)^2 (x-4) 0 (x+3)^2 (x+3) (x+4)
: 如果要硬設 ax+b c d
: ------- + ----- + ------
: (x+3)^2 (x+3) (x+4) 再解出abcd是可以
第一您假設的不對因為這是完全平方的形式應該是這樣令
a b c
------- + ----- + ------
(x+3)^2 (x+3) (x-4) <== 這裡也錯了
所以等式應為 1 = a(x-4) + b(x+3)(x-4) + c(x+3)^2
當 x = 4 ==> 1 = 49c ==> c = 1/49
當 x = -3 ==> 1 = -7a ==> a = -1/7
問題來了怎麼求 b 呢?
因為 a, c 已經求出我們可以找一些 b 可以控制的次方項比較係數即可
以這一題來說可選擇二次項(因為 a 無法控制二次項所以比較方便求 b)
0 = b + c (左邊沒有二次項，右邊的二次項係是很明顯是 b + c)
因此得知 b = -c =-1/49
以上給您參考
: 但是如果要用lim來做該怎麼做呢?
: 感謝解答^^
若是 (Ax+B)/(x+3)^2 則有一部分可以合併到 C/(x+3) 去
舉個例子
2x+5 2(x+3)-1 2(x+3) -1 2 -1
-------- = ---------- = -------- + -------- = ------- + -------
(x+3)^2 (x+3)^2 (x+3)^2 (x+3)^2 (x+3) (x+3)^2
應該可以發現其中有一部分可以跟 C/(x+3) 合併
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