Re: [微分] 方程式的根
※ 引述《bard3 (吟遊詩人)》之銘言：
: Show that x^3+7x+1 =0 has exactly one solution
: in the interval [-4,1]
[證明]
3
設 f(x) = x + 7x +1 , domf= R
(一) 存在性:f在[-4,1]連續 --(1)
3
f(-4) = (-4) + 7(-4) + 1 = -64 -28 + 1 = -91 < 0 --(2)
3
f(1) = 1 + 7(1) + 1 = 1 + 7 + 1 = 9 > 0 --(3)
由 (1),(2),(3) 及連續函數的中間值定理,可知
存在 c 屬於 [-4,1] such that f(c) = 0
3
即 f(x) = x + 7x + 1 在 [-4,1]間,至少有一根
3
(二) 唯一性:f(x) = x + 7x +1 ,domf = R
2
f'(x) = 3x + 7 > 0 for all x屬於(-∞,∞)
所以 f在 R上 嚴格遞增
所以 f為 one to one on R
故 f在 [-4,1] 亦為 one to one
即 f在 [-4,1]之間的根為方程式唯一的根
綜合(一),(二),可知 f在 [-4,1] 之間恰有一根
Q.E.D.
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射手學妹一號(手繪版)
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