Re: [積分] 一題積分問題
※ 引述《hstrxgfcg216 (虛虛)》之銘言：
: X^2 Y^2 Z^2
: ----- + ----- + ----- ≦ 1 之體積
: A^2 B^2 C^2
X Y Z
令 --- = u , --- = v , --- = w
A B C
則 X = Au , Y = Bv , Z = Cw
|J| = ABC
令 u = (r)(cosθ)(sinψ) , v = (r)(sinθ)(sinψ) , w = (r)(cosψ)
|J_1| = (r^2)(sinψ)
令 R = {(u,v,w)| u^2 + v^2 + w^2 ≦ 1}
所求體積 = ∫∫∫ |J| dwdvdu
R
= ∫∫∫ (ABC) dwdvdu
R
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (ABC)(|J_1|) drdψdθ
0 0 0
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (ABC)(r^2)(sinψ) drdψdθ
0 0 0
2π π r^3 |r = 1
= ∫ ∫ (ABC)(-----)(sinψ) | dψdθ
0 0 3 |r = 0
2π π 1
= ∫ ∫ (ABC)(---)(sinψ) dψdθ
0 0 3
2π -1 |ψ = π
= ∫ (ABC)(---)(cosψ) | dθ
0 3 |ψ = 0
2π 2
= ∫ (---)(ABC) dθ
0 3
2 |2π 4
= (---)(ABC)(θ) | = (---)(ABC)(π)
3 |0 3
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.66.27
推
10/14 09:45, , 1F
10/14 09:45, 1F
討論串 (同標題文章)