Re: [積分]今年政大微積分考題~

看板trans_math作者pcboy0831 (在海灘上種花)時間17年前 (2007/07/08 17:32)推噓10(10推 0噓 9→)

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※ 引述《fattybb (我愛小肚寶~)》之銘言： : 1 X-1 : ∫ ----- dx = ??? : 0 lnX : 拜託各位高手了~~ 有兩種作法 1 1. Let F(t) = ∫ (x^t - 1)/lnx dx 0 then it's obvious that F(0) = 0 1 ∫(x-1)/lnx dx = F(1) - 0 = F(1) - F(0) 0 1 F(1) - F(0) 可以寫成 ∫(dF/dt) dt = F(1) - F(0) 0 1 1 dF/dt = (d/dt)∫ (x^t - 1)/lnx dx = ∫ (d/dt)((x^t - 1)/lnx) dx 0 0 利用指數微分的公式 f^g --> (f^g) * ( (f'/f)g + (g')ln|f| ) 1 x=1 = ∫ x^t dx = (x^(t+1))/(t+1) | = 1/(1+t) 0 x=0 1 代回去, 得到 F(1) - F(0) = ∫ 1/(1+t) dt = ln2 0 # 2. 作法二, 令 u = ln(x) , e^u = x , (e^u)du = dx 1 0 ∫ (x-1)/lnx dx = ∫((e^(2u) - e^u)/u )du 0 -∞ 將 e^(2u) - e^u 視作是另一個積分, 範圍 [u,2u] 0 2u = ∫ ∫(e^t)/u dtdu -∞ u 利用積分順序互換 0 t = ∫ ∫ (e^t)/u dudt -∞ t/2 = ln2 # -- 僅供參考 -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 125.232.3.188

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