Re: [考古] 北科94.95微積分考古題
※ 引述《osirisobelis (osirisNNN )》之銘言：
: ９５
: http://wwwlib.ntut.edu.tw/www/ntut/trans/95/02.pdf
: ９４
: http://wwwlib.ntut.edu.tw/www/ntut/trans/94/03.pdf
: 想問的是95年的第2跟第5
: 第2題他限定Lagrange.不過做不太出來.有啥技巧嗎
: 94年想問的是第3題.感謝
94年第3題的題目
(n+1)(n+2)...(n+n) 1
Evaluate lim (--------------------)^(---)
n→∞ n^n n
(n+1)(n+2)...(n+n) 1
sol： lim (--------------------)^(---)
n→∞ n^n n
(n+1)(n+2)...(n+n) 1
= lim e^(ln((------------------)^(---)))
n→∞ n^n n
(n+1)(n+2)...(n+n) 1
= e^( lim ln((------------------)^(---)))
n→∞ n^n n
1 (n+1)(n+2)...(n+n)
= e^( lim (---)(ln(------------------)))
n→∞ n n^n
1 n+1 n+2 n+n
= e^( lim (---)(ln((---)(---)...(---))))
n→∞ n n n n
1 1 2 n
= e^( lim (---)(ln(1 + ---) + ln(1 + ---) + ... + ln(1 + ---)))
n→∞ n n n n
1 n k
= e^( lim (---)(Σ ln(1 + ---)))
n→∞ n k=1 n
1
= e^(∫ ln(1+x) dx)
0
|1 1 1
= e^((x)(ln(1+x))| - ∫ (x)(---) dx)
|0 0 1+x
1 1
= e^(ln2 - ∫ (1 - ---) dx)
0 1+x
1 1
= e^(ln2 + ∫ (--- - 1) dx)
0 1+x
|1
= e^(ln2 + ln(1+x) - x | )
|0
= e^(ln2 + ln2 - 1)
= e^(ln4 - 1)
4
= (e^(ln4))(e^(-1)) = ---
e
--
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