Re: [考古] 94中山 第7題
※ 引述《acecaz ()》之銘言：
: x y z
: 7.求橢圓體 (---)^(2)+(---)^(2)+(---)^(2) 之體積
: a b c
: 用球座標找不到上下限...用截面法也找不到
: 麻煩高手了...
x y z
橢圓體的方程式為 (---)^2 + (---)^2 + (---)^2 ≦ 1
a b c
令 D = {(x,y,z)| (x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 ≦ 1}
x y z
令 --- = u , --- = v , --- = w
a b c
則 x = (a)(u) , y = (b)(v) , z = (c)(w)
| δx δx δx |
| ----- ----- ----- |
| δu δv δw |
| |
| δy δy δy |
J_1 = | ----- ----- ----- |
| δu δv δw |
| |
| δz δz δz |
| ----- ----- ----- |
| δu δv δw |
| a 0 0 |
| |
= | 0 b 0 | = abc
| |
| 0 0 c |
|J_1| = abc
令 D = {(u,v,w)| u^2 + v^2 + w^2 ≦ 1}
令 u = (ρ)(cosΘ)(sinψ) , v = (ρ)(sinΘ)(sinψ) , z = (ρ)(cosψ)
則 |J| = (ρ^2)(sinψ)
所求體積 = ∫∫∫ dzdydx
R
= ∫∫∫ |J_1| dwdvdu
D
= ∫∫∫ (abc) dwdvdu D
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (abc) |J| dρdψdΘ
0 0 0
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (abc)(ρ^2)(sinψ) dρdψdΘ
0 0 0
2π π 1 |ρ = 1
= ∫ ∫ (abc)(sinψ)(---)(ρ^3) | dψdΘ
0 0 3 |ρ = 0
2π π 1
= ∫ ∫ (abc)(---)(sinψ) dψdΘ
0 0 3
2π 1 |ψ = π
= ∫ (abc)(---)(-cosψ) | dΘ
0 3 |ψ = 0
2π -1
= ∫ (abc)(---)(cos(π) - cos(0)) dΘ
0 3
2π -1
= ∫ (abc)(---)(-1 - 1) dΘ
0 3
2π 2
= ∫ (abc)(---) dΘ
0 3
2 |2π 4
= (---)(abc)(Θ) | = (---)(π)(abc)
3 |0 3
--
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◆ From: 140.119.27.56
推
07/06 23:25, , 1F
07/06 23:25, 1F
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