Re: [考古] 政大應數92年微積分(一)
※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: ※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: : http://www.lib.nccu.edu.tw/exam/transfer/math/index.htm
: : 這個是政大應數考古題的網址
: : 我要問的是92年微積分(一)的第3,6,7題
: : 題目如下,看不清楚的可以去上面的網址看
: : 3.the series
: : ∞ cos(n^p) ∞ (lnn)^β cos(n^p)
: : Σ ------------ and Σ --------------------
: : n=2 n(lnn)^α n=2 n^α
: : converge for every α>1,β>=1 and p>=1.
這兩個的cos都是障眼法
因為(cosx)<=1 for all x
原級數
∞ cos(n^p) 1
Σ ------------ <= ----------
n=2 n(lnn)^α n(lnn)^α
再利用積分比較審斂法 得知α>1
1
---------- 控制原級數
n(lnn)^α
令一個同理
但是是利用P級數比較
6.the following series is a rearrangement of the alternating harmonic
: : series in which there appear alternately three positive terms followed
: : by two negative terms
: : 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: : 1 + --- + --- - --- - --- + --- + --- + ---- - --- - --- +++--...
: : 3 5 2 4 7 9 11 6 8
: : show that this series converges and has sum ln(√6).
這題有點難
n
用到了lim (Σ 1/k -ln n -c)=0
n->∞ k=1
其中c是Euler常數
原級數可以化成
lim(1+1/2+1/3+...1/6n)-2(1/2+1/4+...+1/6n)+(1/2)(1/2n+1+1/2n+2...1/2n+n)
n->∞
因為正項跑的比較快每6項為+-的一週期
6n 3n 3n
=lim [Σ 1/k -Σ 1/k +(1/2)Σ 1/k ]
n->∞ k=1 k=1 k=2n+1
由
n
lim (Σ 1/k -ln n -c)=0
n->∞ k=1
原式=[ln6-ln3+(1/2)ln3/2]=ln(√6)
: : 7.for the sequence of functions f_n(x) = (x^2-1)^n.
: : (3)
: : define g_n(x) = f_n (x), n>=1. g_0(x) = 1.
: : then prove or disprove g_n(x) converges uniformly in [0,√2].
: 這個第七題我會了,不過上面的兩題還是想不出來,有沒有好心的大大po一下詳解啊
: 另外同樣是這張的第4,5題問的題目,我不是很肯定他的意思
: A farmer has 1000 feet of fence and wants to build a rectangular
: enclosure along a straight wall.If the side along the wall needs no fence.
: 4.Find the dimensions that make the enclosure as large as possible.
: 5.Find the maximum area.
: 以下是我所理解的題意
: wall
: -------------------
: x | | x
: -------------------
: 1000-2x
: 上面的x是我自己假設的,然後求出最大的長方形面積和此時的長寬尺寸
: 不知道4.5題是不是這個意思,因為如果是,好像太簡單,感覺很奇怪,請各位幫個忙吧!
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