Re: [請問] 分數除法
※ 引述《MOUSE0110 (卯死)》之銘言：
: 如何和小學生解釋
: 5 除以3/4 = 5 * 4/3
: 總不能直接告訴他
: 你就顛倒過來 然後就變成乘法吧...
除法有兩種主要的意義：
1. 平分：譬如 15 個蘋果分給 3 個小朋友，每人有幾顆蘋果
15 - 3 = 12 ...... 經過第 1 次分配，每人有 1 顆蘋果，剩下 12 個
12 - 3 = 9 ...... 經過第 2 次分配，每人有 2 顆蘋果，剩下 9 個
9 - 3 = 6 ...... 經過第 3 次分配，每人有 3 顆蘋果，剩下 6 個
6 - 3 = 3 ...... 經過第 4 次分配，每人有 4 顆蘋果，剩下 3 個
3 - 3 = 0 ...... 經過第 5 次分配，每人有 5 顆蘋果，至此已分完
這是在記錄分配「次數」，看看 15 不斷用 3 來去除，可以去除幾次
分配次數是重要的，因為知道這個就會知道每人有幾顆蘋果
2. 倍數關係：譬如哥哥有 80 元，弟弟有 20 元，哥哥的錢數是弟弟的幾倍
80 - 20 = 60 .... 把哥哥的錢拿出 20 元，剩下 60 元，目前有 1 份 20
60 - 20 = 40 .... 再把哥哥的錢拿出 20 元，剩下 40 元，目前有 2 份 20
40 - 20 = 20 .... 再把哥哥的錢拿出 20 元，剩下 20 元，目前有 3 份 20
20 - 20 = 0 .... 再把哥哥的錢拿出 20 元，剩下 0 元，目前有 4 份 20
這也是在記錄「去除」的「次數」，哥哥的錢變成 4 份 20
所以哥哥的錢是弟弟的 4 倍，同樣地，次數即為倍數
5 除以 3/4, 這件事情說是平分很怪，難道要平分給 3/4 個人? (*)
所以這邊的引入用倍數關係應該會比較好教，就是看 5 是 3/4 的幾倍
這個數字不好，因為不是整除，對初學很不恰當，以下改為 6 除以 3/4
這個部分用圖解會比較恰當，其實上面說的蘋果和錢的問題，也應該配合圖解
蘋果題要把 15 個蘋果畫出來，然後每次圈起 3 個蘋果表示分掉的部分
錢的話就畫出 8 個 10 元硬幣，再用相同操作，圈起來是為了方便辨識有幾堆
6 除以 3/4 的話不妨畫 6 個大餅，每個大餅都是 4 等分過的
每次把其中 3/4 塊餅塗色，看可以做幾次，每次換不同顏色，方便計算分了幾次
這樣只能理解什麼叫「除以 3/4」，還不盡然是我們要的
要怎樣讓學生理解 6 除以 3/4, 就是 6 乘以 4/3 呢?
我使用的方法是類似科學實驗，我們想知道一個數字除以分數
分母和分子分別會造成什麼影響，實驗設計很簡單
實驗一：控制變因是被除數和分子，操縱變因是分母
實驗二：控制變因是被除數和分母，操縱變因是分子
實驗一的部分，讓學生實做，計算 3 分別除以 1/2, 1/3, 1/4 的答案，並觀察
會發現除以「幾分之一」就會讓答案變成被除數的幾倍，這件事情不難理解 (**)
實驗二，則是讓學生用 3 分別除以 1/4, 2/4, 3/4, 並觀察答案
會發現 2/4 的答案是 1/4 的一半，3/4 的答案是 1/4 的 1/3, why? (***)
從這邊發現到分子是多少倍就會讓答案少幾倍
有這兩個結果，我們就可以回頭來解剛剛的問題
6 除以 3/4 = ? 這太難了，先簡化一下問題
6 除以 1/4 = ? 這個剛剛學過，6 除以 1/4 = 6 * 4 = 24
現在回頭攻擊剛剛的問題
6 除以 3/4 = ? 這也是剛剛學過，答案會是上一個問題的 1/3,
所以答案是 24 * 1/3 = 8
把這兩個步驟統整起來：
6 除以 3/4 = 6 * 4 * 1/3
先不急著把 6 * 4 算出來，而先合併 4 * 1/3 的部分，會有很有趣的結果：
6 除以 3/4 = 6 * 4 * 1/3 = 6 * 4/3
原來當除數是分數時，我們可以直接把分數倒過來並改為乘法
只試過一個例子，會不會只是巧合? 再多試幾個算式來看看：
8 除以 4/7 = ?
8 除以 1/7 = 8 * 7
8 除以 4/7 (會是上一行的 1/4, 所以) = 8 * 7 * 1/4 = 8 * 7/4
(如果我來教的話，會讓學生多做幾遍這個練習，應該有助於理解)
是了好幾個例子都沒問題，以後我們可以安心使用這一招了！(****)
* 平分給 3/4 個人是可能的，譬如速度的計算
5 小時跑 500 公里，就是把 500 公里平分給 5 個人 (其實是小時)
所以也可以把 60 公里平分給 3/4 個人，每個人得到 80 公里
這個觀念當然不需要教，除非學生超資優，否則只會有反效果
** 可以讓學生用討論的方式來理解這部分，數學課其實很適合分組
*** 這部分當然也很適合討論，但可預見的是光有討論，學生應該還是一知半解
所以教師在討論後的統整非常重要
討論結果應該類似「每次要分出去 3 倍的東西，所以次數有 1/3」
**** 這不是數學證明，只是經驗法則，小學只要建構直觀即可，證明是學者的事
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