Re: [推理] 關於綠眼睛邏輯問題
※ 引述《e1q3z9c7 (午仁)》之銘言：
: 1. 如果只有一個綠眼睛的人，則他不知道這件事，所以不算任何知識
: 2. 如果有兩個綠眼睛的人，則雙方知道這件事，但彼此不知道對方是否知道，因此是共同知識
: 3. 如果有三個綠眼睛的人，則不僅三個人都知道這件事，且每個人都知道另外兩個人知道
: 同時還知道另外兩個人知道自己知道，則理應成為公共知識
令 "我們之中至少有一個綠眼睛" 為 K,
以下都是以 K 這件事尚未成為公共知識當作前提.
假設這三個人叫 A, B, C.
1) A 知道 K:
因為 A 可以看到 B 的眼睛. 同理 B, C 也都知道.
2) B 知道 A 知道 K:
因為 B 知道 A 看得到 C 的眼睛.
3) C 不知道 B 知道 A 知道 K:
因為 C 不知道自己是否為綠眼,
而他設身處地在 B 的視角時, 心中那個 B 也不會知道自己 (B) 的眼睛顏色.
從而 C 無法得知那個 B 心中的 A 所看到的 B 與 C 有沒有綠色眼睛.
特別留意此處無法排除的可能性是來自於
"C 假設自己不是綠眼 & 心中的 B 也假設自己不是綠眼".
之後那段還會遇到相同情境.
結論是光靠 A, B, C 三人, K 不足以構成公共知識.
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再來討論在這情況下, 這三人能否得知自己是綠眼?
注意即使沒有 K 這項公共知識, 還是存在某些這類謎題預設的公共知識:
比如 "所有人都是理性思考者、不會出錯",
當然還有 "知道自己是綠眼後就該有所行動".
另外, 這三人的條件完全一致, 我們可以不失一般性地針對其中一人討論.
開始分析:
C 會想「假設我 (C) 不是綠眼, 那麼 B 只會看到 A 一個綠眼.
而 B 會想: "假設我 (B) 不是綠眼, 那 A 的視野中就不會出現任何綠眼.
但我 (B) 還是無法確定 A 知不知道自己是綠眼,
因為我 (B) 不確定 A 知不知道 K"」.
為何無法確定 A 知不知道 K? 正是因為此處情況與上一段的雷同,
所以 C 不知道 B 知道 A 知道 K.
說得更易懂一些, 在這個 "腦內虛擬的情境" 中, A 看到的兩人都不是綠眼,
當然也就無法確定三人中有沒有綠眼睛.
於是 C 無法排除 "自己不是綠眼" 這項假設,
虛擬情境中的人沒有一個該有所行動, 情勢就此膠著,
這也代表眾人會相安無事.
(這論證其實還不夠嚴謹, 不過關鍵想法大概就是如此.)
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11/07 18:19,
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雖然不確定你的意思, 不過看起來差不多~
補了一段分析 "K 成為公共知識之前的狀態".
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對, 就是這樣~
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11/09 09:50,
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就是在 "不確定 A 知不知道 K" 這個時候產生影響啊~
知識階層夠大的話, 這件事就能確定.
"公開宣布 K 且大家都在場" 這件事會直接讓 K 提升為公共知識
i.e. 階數可為任意正整數.
也許你先想兩人的情況會比較好理解.
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11/09 18:20,
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我後來有改順序, 不過照你推文的次序來說吧~
D 想我 (D) 有可能不是綠眼, 在這情況下:
A 想我 (A) 有可能不是綠眼, 在這情況下:
B 想我 (B) 有可能不是綠眼, 在這情況下:
C 的眼中看到的三個人都不是綠眼, C 也不確定自己 (C) 是不是綠眼.
如果 K 不是公共知識, 那 D 心中的那個 C 可以假設自己不是綠眼, 不會有任何矛盾.
如果 K 是公共知識, 那 D 心中的那個 C 就應該推論出自己是綠眼.
※ 編輯: arthurduh1 (111.254.210.89), 11/09/2018 20:18:52
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