[心得] 完全平方數巧算 & 挑戰 > 10000 畢氏數
先介紹一下，不少老師知道，其實「 幾十五 的平方」有便捷的方法算 ；
a十五 就是 10a+5， 10a+5 的平方可以用乘法公式化成 a*(a+1)*100 + 25。
所以說 35 的平方就是 3*4=12 後邊接 25 是 1225
45 的平方是 2025 ；75 的平方是5625
甚至可以延申到 115 的平方是 13225 (11*12=132)；
5 的六次 是 125的平方 = 15625。
其實這個也可以教，在台灣國小資優數學都會教「公式」；
但學生不知其所以然、又不會主動一直使用，很快就會又忘了。
我都在國一開始的時候先講過，到國二學完全平方數、學乘法公式的時候又再講一次。
要老師自己每次看到可以這樣算的時候就使用一次給學生看，
一次次看過才比較會真的用。不然也只是填鴨。
國二上背完全平方數，到後來學乘法公式的時候其實可以重新推導一次。
像 121 、 144 、 169 都是完全平方式的係數，很實用；
連帶 21平方 441 ； 31平方 961； 19平方 是 (20-1)平方 是400 - 40+1 = 361。
15平方是225 上面講了 ，16平方從 二的次方數去記就好，
18平方 是 81*4=324不用進位。
其實20以前只有 17平方 = 289 要「背」而已。
畢氏數也和乘法公式有關 因為 a平方 - b平方 = (a+b)*(a-b)
所以兩個只差 1 的數的平方，差就是兩底數合。
比如說 17 平方 = 16平方+16+17 = 256+33=289
換言之去找連續兩數合是完全平方數的，就能找到 12、13、5 和24、25、7；
其實反過來想更簡單 -- 把完全平方數拆成連續兩數合
像 81 可以拆成 40+41；所以 40、41、9 也是
兩數差二的話，平方差就是 (a+b) * 2 = (a+b)/2 * 4
也就是兩數的中間項*4； 所以 15、17、8 也是直角三角形三邊。
換句話說，去找 「中間項是平方數的」 -- 將平方數當成中間項；
比如說 81 --> 那 82平方 - 80平方 就等於 81*4 = 18的平方 ；
所以 80、82、14也是畢氏數 ( 40、41、9 )
接著會發現如果找到「平方數 中項」是奇數，那兩端就都是偶數，之後就會約掉；
所以如果要找新的畢氏數，就要找「偶數的平方數」
比如說 36 +> 37平方 - 35平方 = 36*4 = 12平方
這樣我們就找到一個新的畢氏數了：「12、35、37」
那麼，來挑戰一下，挑一個不可約的、超過四千的「畢氏數」
比如說， 32 的平方 = 2的十次方 是 1024
( 2 的次方數，我都讓學生推到 1024，很實用，
因為 1mb = 1024kb、1kb=1024bite 將來也會用到)；
所以1024 * 4 = 4096 就是 64 的平方
那麼， 4097平方 - 4095平方 = 4096*4 = 128平方
128 都是 2 乘起來的； 另外兩個數是奇數，所以一定沒得約
那 「128、4095、4097」就是一個破四千的新畢氏數了
這個計算其實還可以再延申下去，
比如說 如果 a 和 b 差 8 那 a平方 - b平方 = ( a+b )*8 = 中間項 * 16
這次我們要抓奇數 的完全平方數，(為什麼呢？)
抓大一點好了， 121 的平方，是11 的四次方，
也就是 (x+y)^4 的係數比 ： 1 4 6 4 1
把14641加、減四；找到 14645 平方 - 14637 平方 = 14641 * 16 = 242 平方
那 242、14637、14645 就也一樣是不可約的畢氏數。
最後試試，用 a-b = 2048 ( 2 的11次 ) 和 上面的 14641 當中項
來找15665 平方 - 13617平方 = 14641 * 4096 = 121平方*64平方 = 7744平方
所以 7744、13617、15665 也是不可約的畢氏數
這個是不是挺炫的呢？ 還是說，你本來就知道了？
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