問一個exponential distribution的問題
有兩個獨立的exponential distribution的變數x1和x2
parameter 分別是 lambda1, lambda2
現在要求 Expectation of Max(x1,x2)
正常的做法是用Prob[Max(x1,x2)<=t]=Prob[x1<=t]*Prob[x2<=t]
然後微分求pdf
可以得到這個期望值應該是 1/lambda1+1/lambda2-1/(lambda1+lambda2)
但是我現在用另一種看法（以下用L代替lambda）
x1和x2之中，比較小的那個是依 Min(x1,x2)分布，它的expectation是1/(L1+L2)
接下來我算另一個比較大的，會比這個值大多少的期望值，叫做y
然後把兩個期望值相加起來得到Max(x1,x2)的期望值
計算y的時候我用條件機率
x1>x2的機率是L2/(L1+L2)，而此時x1-x2的expection是1/L1
(By memoryless property of exponential)
x2>x1的機率是L1/(L1+L2)，而此時x2-x1的expection是1/L2
所以，y=[(L1/L2)+(L2/L1)]/(L1+L2)
而Max(x1,x2)的期望值就是1/(L1+L2) + [(L1/L2)+(L2/L1)]/(L1+L2)
和上面不一樣！
請問哪裡錯了？
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《小野‧尋找台灣生命力》
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