Re: [問題] 微積分需要背到什麼程度

看板Transfer作者t0444564 (艾利歐)時間6年前 (2019/06/19 00:38)推噓20(20推 0噓 1→)

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借原文標題順便回答一些應考的朋友們常來問我的問題。與其講微積分，先從比較宏觀的來看，任何一個學科都有需要記憶的東西。比如工程數學、線性代數，甚至非理工的科目，如社會學、人類學都有各種定義、結論、前人的貢獻需要背頌記憶，而在應考的時候將你的所知所學表達下來。因此關鍵就提取過去知識的過程，如能將此過程運轉順暢，那考試或任何場合需要進行回憶的過程就能得心應手。於我而言，微積分這門科目可分為四大部分：　單變數函數　雙變數函數　級數相關　其他（常微分方程、偏微分方程、中學知識、物理問題等）單變數函數　求極限問題　　．你知道熟悉經典的極限結果及其變形嗎？　　　如sin(x)/x →1 as x→0, tan(x)/x→1 as x→0 　　．你知道如何使用泰勒展開式求極限嗎？　　．你知道如何使用羅畢達法則求極限嗎？　　　［你知道在甚麼時候可以使用以及羅畢達法則的限制嗎？］　　　［進階：你知道在什麼時機下使用羅畢達法則會有邏輯問題嗎？］　　　常見搭配問題：使用羅畢達法則與微積分基本定理求極限。　　．你知道基本的有理函數化簡嗎？　　．你知道夾擠定理以及那些時機適合使用嗎？　　　如|x*sin(1/x)|≦|x|→0 是一個經典的例子。　　．你知道底數與指數都為x的函數時可以使用換底公式嗎？　　．你知道單調有界定理嗎？　連續函數　　．你知道連續函數的定義嗎？　　．你知道左極限與右極限下搭配分段函數求係數的問法嗎？　　．你知道連續函數有中間值定理嗎？　　．你知道連續函數在閉區間上有最大最小值嗎？　求導問題　　．你熟悉所有基本函數的微分嗎？　　．你熟悉微分的規則嗎？特別是連鎖律。　　．你熟悉導函數的定義嗎？　　　譬如在函數相當複雜時，求導數值的位置能恰好使函數值為零適合使用。　　　如f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)/(x-4)(x-5)(x-6) 求f'(1)。　　．你知道對數微分法嗎？　　．你知道隱函數微分法嗎？　　　常見搭配問法：使用隱函數微分法求出切線斜率後使用點斜式寫出切線方程。　　．你知道相關變率的問題嗎？　　．你知道如何使用微分求極值嗎？並進一步藉由二階微分判斷極大或極小值　　．你知道均值定理嗎？　　．你熟悉基本的泰勒展開式嗎？並可以估算其誤差。　積分　　．你熟悉基本的反導函數嗎？　　．你知道連續函數皆可積分嗎？［不代表反導函數可寫出來］　　．你知道某些極限可視化為黎曼和嗎？　　．你知道分部積分法嗎？　　　關鍵是不同類型的函數相乘，譬如x*ln(x)、x*sin(x)、e^x*sin(x)等　　．你知道變數代換法嗎？　　　關鍵是把最醜的部分換掉，並且如有ln(x)可優先替換u=ln(x)。　　　－你知道三角代換法嗎？　　　－你知道正切函數的半角代換嗎？　　　［進階：你知道代換的限制是什麼嗎？］　　．你知道利用對稱性來簡化積分嗎？　　．你知道積分的幾何意義嗎？［有向面積，在x軸上方為取正號］　　※你知道如果看起來不會積要跳過嗎？［這是實話，太困難的題目就先跳過！］　　．你知道如何計算旋轉體體積與面積嗎？　　．你知道弧長公式嗎？　　．你知道極座標下的面積與弧長公式嗎？雙變數函數　　．雙變數極限　　　通常不存在，關鍵是利用次數求解。　　　分子之次數若高於分母，通常極限存在；反之則不存在。　　　假若猜測極限存在，可以利用極座標或夾擠定理證明。　　　不存在則藉由直線或曲線逼近至原點可求解。　　．會計算偏微分嗎？知道偏微分的定義嗎？　　．會計算梯度嗎？　　．會利用梯度算方向導數嗎？知道方向導數的定義嗎？　　　可以利用梯度找出最快的增加率與最快增加的方向嗎？　　．會利用梯度求曲面的法向量嗎？　　．會求雙變數函數的極值並判斷其性質嗎？　　．會利用拉格朗日乘子法求條件極值嗎？　　　［知道可以使用基本的不等式避免使用拉格朗日乘子法嗎？］　　．會計算多變數函數的連鎖律嗎？　　．會使用Fubini定理交換重積分之次序嗎？　　．能明白二重積分與三重積分的幾何意義嗎？　　．會計算純量線積分嗎？　　．會用參數化計算線積分嗎？　　．會使用Green定理計算線積分嗎？　　．會使用Stokes定理嗎？　　．會使用Gauss散度定理嗎？　　．知道什麼是保守場嗎？知道如何找出位能函數嗎？　　．知道如何使用線積分基本定理來計算做功嗎？級數　　．你知道各種審歛法嗎及其使用時機嗎？　　．你知道冪級數可與微分號和積分號交換嗎？　　．你知道收斂半徑如何計算嗎？　　　［你知道端點經常可透過交錯級數審歛法判斷收斂嗎？］　　．你知道分項對消計算嗎？　　．你知道基本級數的求和及其延伸嗎？其他　　．如那些分類，例如你會求微分方程嗎？等等以上只是一時興起描述，一定還有很多遺漏，有興趣者可自行補充成為自己的版本。可以類似於檢核表，確認自己到底會與不會。很多人認為題目一定要完全做出來才代表會，我不這樣認為，有時候看到題目的敘述其實就足夠說自己會還不會了。正如我在解答網站上使用的「訣竅」，如果讀者們可以在看完題目想到訣竅中的內容其實就代表你已經會這道題目了，剩下的就是避免計算錯誤了！祝大家應考順利。 ※ 引述《JacobSuPTT (Jacob)》之銘言： : 小弟我是今年要入學的學生 : 但我覺得自己可以考上更好的學校 : 所以決定要自修微積分普物轉考 : 看了大家大推的學習要訣就買了一本 : 但最近在讀的時候頻頻遇到瓶頸 : 像是這裡 : https://i.imgur.com/vrVWgWV.jpg

: 計算過程從csc三次方的積分直接跳到結果 : 這讓我常常來不及反應過來 : 請問這些東西真的都是要能練到能馬上聯想嗎 : 我聽我有補習的朋友說轉考應該不會考這麼難 : 是真的嗎？ : btw我想考的是電機系微積分好像是A卷 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.246.235.245 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Transfer/M.1560875918.A.368.html

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