[心得] 期望值與抽卡 回應 #1K_b2s_a 整篇

看板ToS作者 (QQ)時間9年前 (2015/03/12 00:10), 9年前編輯推噓120(135推 15噓 141→)
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本文涉及暈眩、想睡、左轉...諸多副作用 慎入 一、前言 文章分成兩個部分《期望值》、《無窮級數》解釋那篇的爭議。在這之前，先看我們最初 的問題：如果前幾張抽到糞卡，那之後抽卡會不會很難追平？而corpsekiwi大提到： 一開始若你投出的是負（就如首抽只抽一張），約有60％機率在未來30抽也無法翻正。 （此假設抽白金+1，抽非白金-1，白金與非白金的機率各是1/2） 同時他提出了：距離原點的期望值會出現在 +- (2n/π)^0.5，整篇腥風血雨就來了... 後來推文整個歪串啦！還涉及之前新聞沸沸揚揚的1+2+3+4... = -1/12以及其他無窮級數 後來思考了一段時間知道怎麼打這篇... 再來必須要先提及的觀念是：數學語言是一種量化感覺的工具 也正是因為每個人感覺不同，才會需要定義。難怪蠻多人問原PO的"60%、80%"這些機率 是哪來的，分子分母各是什麼？何謂60％機率在未來30抽也無法翻正？ 承上段所述，就是每個人感覺不一樣，所以才會有各種統計值，像是期望值、平均 、標準差、關係係數...超多這種機率統計的數值，說穿了就是量化讓大多數人都能接受 的"感覺"，但一樣的，感覺因人而異，所以才會定義出各種統計值。 （舉個例，平均數--總和除以總數--是很早就有的概念，普遍覺得這樣定義平均就夠了 算式也很合理，但有人提出這樣區別不出"1個人0分，39個人100分" VS "40人99分"， 確實，但如果我是在乎大多數人表現的老師，平均數的定法就很合我胃口了，為何還 需在意挑出那個人？但今天如果我是在乎每個學生的，我就會加看標準差。） 總之就是人為定出的各種統計值，人各有所好的選擇適合自己的量化方式，因為再怎麼 樣都會跟實際狀況有出入，現實發生的事情太奧妙了，諸如： 強者我同學的西遊戰隊、連6沐月、連7玉兒、討論串苦主奶爸12連發金卡.... 二、正文 《期望值》：討論corpsekiwi提到的公式 參考aardvark的reference http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk 我下面的符號會跟Wiki的一樣 首先聲明你如果是純數學系的可能會不舒服，因為我如果寫的讓你舒服那大部分人都會 不舒服...所以機率論裡面的可測空間、可測函數、函數的定義域well-defined這些細節 牽扯到實變數函數論的background，我會用比較平易近人的方式盡量解釋 我們從實數線上0點開始投硬幣（flip the coins），頭向上（head on）往右走（+1） 頭向下（head down）往左走（-1），假設這是公平硬幣，+-1的機率各是1/2，那如此 一直投，有沒有可能預測他的行為？ 這是一維隨機漫步（One dimensional random walk）的經典模型，corpsekiwi也是引用 這個，而sad010質疑說他的式子是二維的case我覺得是看錯了，你應該是看aardvark 所給的相同wiki連結，它確實是在講一維的模型，只是插圖有二維情況，這部分應該是 你誤會corpsekiwi了 令隨機變數Z（就是個函數）定義為：Z = { 1 , head on （白金！） { -1 , head down （幹！30~40魂） 投第一次（抽第一張）稱為Z_1，之後一直投，就有Z_1,Z_2,...Z_i n 接著定義S_n = Σ Z_i 想成是投n次後的移動結果（這邊會有函數well-defined的問題原 i=1 　　 因在於母空間其實沒那麼簡單，略） 再來根據期望值定義（只考慮離散隨機變數）： 一個離散隨機變數X的期望值E(X) =　每個發生的值*每個值發生的機率 因此，我們可以輕易得到E(S_n) = 0 對於所有的n，也就是眾版友覺得不管抽幾次， 期望值都是0。 （試算E(S_3)：投3次有可能發生S_3 = { 3 , if 上上上 機率1/8 { 1 , if 上上下、上下上、下上上 機率3/8 { -1, if 上下下、下上下、下下上 機率3/8 { -3, if 下下下 機率1/8 因此E(S_3) = 3*1/8 + 1*3/8 + (-1)*3/8 + (-3)*1/8 = 0 這根本不用算因為對稱相消，也是為何E(S_n) = 0的原因） 至此，你可能會有一個問題：那幹嘛算E(│S_n│)？這樣感覺就夠了阿？ 因為從試算看到，正負是抵銷的，我們看不到抵銷掉的部分，而如果算了E(│S_n│） ，也就是corpsekiwi所說的與原點的距離，那所呈現的值約略的告訴我們所落的位置 舉例如果E(│S_1000│）= 50000，那投1000次大約就是在+50000或是-50000，而不會 是死板板的E(S_1000)是0。 經由中央極限定理與常態分佈函數的瑕積分，我們得到： E(│S_n│)　　　 ２　　 lim ───── = √（──） n→∞ √n　　　　　 π　　 亦即n很大的時候，√n乘到右邊去，就是corpsekiw的那個式子。 最後我覺得蠻有趣的是，wiki提到：這個模型一直下去的話，每個整數點都會經過無限次 而應用在神魔的語言，假設抽卡機不會被抽完，5石一抽，抽到白金會幫你加5石，抽到非 白金會扣5石，則不管你起始有多少魔法石（畢竟是有限的），則一定在有限次數n你石頭 會抽乾，原因正式在於這模型會經過0點無限多次，而遊戲規則就是走到0就結束了。 （不然會變成負魔法石，違規帳戶唷^.<） 期望值就講到這了 《無窮級數》：討論1-1+1-1....、1+0+1+0....、1+2+3+4..... 到底發生什麼事 其實我蠻訝異為何會扯到這個XDDD，是不是在argue說期望值不會是真正情況？ 本來期望值只是人為定出的值，期望嘛！不要太高XDD 接著就是這組問題：1-1+1-1... = 0 or 發散 (a_n = (-1)^n的級數) 1+0+1+0... = 1/2 or 發散 (略) 1+2+3+4... = -1/12 or 發散 (a_n = n 的級數) 答案很簡單：不一定，照定義啦幹 很多人會選後者因為最初接受到極限的概念是： a_n是一個實數數列，我們說a_n收斂如果滿足： 存在一個實數L使得"任給ε>0，存在正整數N_ε，使得當n≧N_ε時，│a_n-L│<ε" 而級數本身是從某個數列建構的，也可以套用收斂的定義。因此基於這個定義下，答案 是後者無誤，那到底前者是來沖煞洨？想必很明顯了...就是不同定義阿！ n 以上述的數列a_n造出級數 Σ a_i，以原來收斂定義的話，我們定義： i=1 n a_n的級數收斂 if s_n = Σ a_i收斂 （很明顯s_n就是一個新數列） i=1 但是我可以定義不同的收斂性，而有前者結果正因：用原本的收斂定義來定出Cesaro收斂 如下： a_1+...+a_n a_n的級數收斂到L如果 c_n = ────── 以數列定義收斂到L n 自己算算看，前兩者就是這樣算來了，而藉由定理： a_n數列收斂則其級數Cesaro會收斂至相同值 因此有時會說Cesaro收斂是較廣義的收斂 最後第三個1+2+3+4....，是比較特殊的case，他的cesaro不管幾次都是發散的 那-1/12到底怎麼來的？弦論的書上也有這條阿！ ∞ 1 首先我們藉由p級數審斂法知道：對於所有的複數s，當│s│>1時，Σ ─── 收斂 n=1 n^s 而運用解析延拓的方式，可以造出一個唯一的解析函數定義在整個複數平面扣掉s=1那點 且在│s│>1時的長相正是原本的級數長相，而這個延拓函數ζ在-1的值正是-1/12 所以...這單純只是把-1"不正常"的代入到"不該代"的地方，導致這個誤會... 如果你疑惑為啥那種異常的算法確可以算出ζ(-1)=-1/12，反正錯^n有天也會對XDD 其實神魔跟數學息息相關呢（？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.108.82 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/ToS/M.1426090242.A.812.html
推
03/12 00:11, , 1F
你真的很煩XDDDDDD
03/12 00:11, 1F
欸 很辛苦耶(／‵Д′)／~ ╧╧ 我當時用手機看到討論串都快高潮了 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:12:39
推
03/12 00:13, , 2F
我吐了
03/12 00:13, 2F
推
03/12 00:14, , 3F
先推 免得被別人說看不懂...
03/12 00:14, 3F
→
03/12 00:14, , 4F
.....看完真的頭好暈怎麼辦
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→
03/12 00:15, , 5F
對不起我end了
03/12 00:15, 5F
推
03/12 00:15, , 6F
怎麼辦呢? 好痛苦,你還是發安多的攻略文可以嗎
03/12 00:15, 6F
推
03/12 00:15, , 7F
根本睡前好文!!給...zzz
03/12 00:15, 7F
推
03/12 00:16, , 8F
對不起 可以說中文嗎?? Orz
03/12 00:16, 8F
推
03/12 00:16, , 9F
End
03/12 00:16, 9F
推
03/12 00:17, , 10F
有沒有懶人包阿 為什麼明明是中文我卻都看不懂 冏
03/12 00:17, 10F
推
03/12 00:17, , 11F
生活處處是數學
03/12 00:17, 11F
推
03/12 00:17, , 12F
抱歉 我需要一句話總結…因為我看不懂QAQ
03/12 00:17, 12F
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ 懶人包喔..... 1. #1K_b2s_a 中 corpsekiwi給的沒有錯，只是他要描述一下那些趴數怎麼來的 2. 1-1+1-1..., 1+0+1+0...., 1+2+3+4.... 究竟是多少呢!? ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:19:36
推
03/12 00:18, , 13F
對不起
03/12 00:18, 13F
推
03/12 00:19, , 14F
@@
03/12 00:19, 14F
推
03/12 00:19, , 15F
說中文阿你!!!!
03/12 00:19, 15F
→
03/12 00:21, , 16F
1-1+1-1.....不是應該-0.5嗎?
03/12 00:21, 16F
推
03/12 00:21, , 17F
最後一個SIGMA裡面沒有i欸看不懂QQ
03/12 00:21, 17F
謝啦XDD <3
推
03/12 00:23, , 18F
喔~ 原來如此
03/12 00:23, 18F
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:24:00
推
03/12 00:24, , 19F
XD
03/12 00:24, 19F
→
03/12 00:25, , 20F
我以為來到統計版
03/12 00:25, 20F
→
03/12 00:25, , 21F
多打個個負號@@ 是0.5啦@@ 還是我記錯了?
03/12 00:25, 21F
沒吧 是0呀
推
03/12 00:25, , 22F
媽～我在這裡(￣▽￣)
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噓
03/12 00:27, , 23F
我覺得原文那樣算是沒錯，但是原PO套入"好運與否"的概念
03/12 00:27, 23F
→
03/12 00:27, , 24F
我覺得很荒謬就是了
03/12 00:27, 24F
→
03/12 00:27, , 25F
痾我指的是原原PO
03/12 00:27, 25F
如果他要講好運與否並且引入統計值 那就"定義"什麼叫好運 不然這樣做半套的根本 無法討論...
→
03/12 00:28, , 26F
我只想玩神魔阿...
03/12 00:28, 26F
我玩得也是神魔呀!!
→
03/12 00:28, , 27F
畢竟抽卡這種東西又不是+1和-1，抽倒垃圾永遠都-5
03/12 00:28, 27F
推
03/12 00:28, , 28F
我要失眠了
03/12 00:28, 28F
→
03/12 00:29, , 29F
抽整組龍隊和大聖妲己我就不知道要算+多少了XD
03/12 00:29, 29F
現實情況真的太複雜了 很難量化 而且神魔真的每張卡機率都一樣嘛? 懷疑阿XDDD(不算特別加倍) 只要有強者我同學 我就不相信統計 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:31:45
推
03/12 00:30, , 30F
(*￣▽￣)/‧☆*"`'*-.,_,.-*'`"*-.,_☆.
03/12 00:30, 30F
推
03/12 00:30, , 31F
所以我認為數學上正確，但以此來分析神魔很荒謬
03/12 00:30, 31F
還有 224 則推文
還有 28 段內文
推
03/12 12:39, , 256F
快推 不然別人以為我看不懂!!!!!!
03/12 12:39, 256F
推
03/12 12:42, , 257F
我本來以為我在這邊寫經濟學已經夠有病了......XD
03/12 12:42, 257F
噓
03/12 12:44, , 258F
上數學課嗎?
03/12 12:44, 258F
推
03/12 12:47, , 259F
推，但是抽卡池有什麼東西，每卡機率分布也不均！
03/12 12:47, 259F
推
03/12 12:52, , 260F
友情推
03/12 12:52, 260F
→
03/12 13:06, , 261F
央極限定理與常態分佈函數我都忘光光還給教授了= =
03/12 13:06, 261F
噓
03/12 13:15, , 262F
沒有結論版主也在m喔
03/12 13:15, 262F
你跟上面某樓一樣，那我給你結論：解釋原PO的文章以及下面的大亂鬥
推
03/12 13:20, , 263F
sigma自然數=-1/12 感動啊啊啊啊！怎麼在神魔看到弦論XD
03/12 13:20, 263F
推
03/12 13:24, , 264F
數學系................
03/12 13:24, 264F
推
03/12 14:07, , 265F
嗯嗯嗯跟我想得差不多
03/12 14:07, 265F
推
03/12 14:26, , 266F
數學夾帶著八掛 看起來格外有趣
03/12 14:26, 266F
推
03/12 14:37, , 267F
幹太多了看不完
03/12 14:37, 267F
推
03/12 15:16, , 268F
太恐怖了！！！
03/12 15:16, 268F
推
03/12 16:02, , 269F
呼 我還以為會看到留數定理呢
03/12 16:02, 269F
推
03/12 16:07, , 270F
對不起，我走錯版了…疑？(抬頭
03/12 16:07, 270F
推
03/12 16:11, , 271F
為啥點神魔版卻進到數學版？ （誤）
03/12 16:11, 271F
噓
03/12 16:16, , 272F
手滑按到END
03/12 16:16, 272F
推
03/12 16:26, , 273F
統計系看的懂加一 覺得有趣
03/12 16:26, 273F
噓
03/12 16:57, , 274F
抽到金卡暗ej 暗巨或精獸 應該算正還是負?
03/12 16:57, 274F
依據你覺得這些卡片的好壞給加權值阿 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 20:48:59
推
03/12 20:49, , 275F
快推不然別人以為我看不懂!! 對不起我真的看不懂QQ
03/12 20:49, 275F
推
03/12 21:14, , 276F
推 認真 當初看到原原po真的是各種憤怒
03/12 21:14, 276F
噓
03/12 22:12, , 277F
噓噓會長 看看公會任務釣不釣的到魚
03/12 22:12, 277F
→
03/12 22:17, , 278F
6色盤面，就至少6c不是嗎？平均每色都5顆
03/12 22:17, 278F
最初我也是想到這個，可是以 光2 心2 火2 木2 水2 暗20來說，我目前最高只能隔4c 有我嘗試證明最多只能4c，可是還是未果，即便這個盤面最多4c的話，也還是無法保證 沒有3c的盤面="= ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 22:22:30
→
03/12 22:34, , 279F
原來如此 我懂你的意思了
03/12 22:34, 279F
你給的那個盤面對問題1幫了不少忙XDD 謝啦 先有20屬珠case的存在性 我就只要證21屬珠的case不存在就好 省不少功夫 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 22:42:01
推
03/13 01:29, , 280F
http://ppt.cc/gYu4 20主10雜 5c盤面
03/13 01:29, 280F
→
03/13 01:34, , 281F
以這個盤面去延伸，搭配疊珠表來看，我認為最低是5c
03/13 01:34, 281F
→
03/13 01:38, , 282F
好像也不用疊珠表，11~15雜直接排333，主珠就5c了
03/13 01:38, 282F
→
03/13 01:38, , 283F
15雜以上應該更不用討論
03/13 01:38, 283F
推
03/13 01:46, , 284F
結論是？
03/13 01:46, 284F
推
03/13 08:05, , 285F
文組沒人權嗚嗚嗚~
03/13 08:05, 285F
推
03/13 18:46, , 286F
21顆不行的證明想到關鍵的話的確是秒殺，不過假設你的
03/13 18:46, 286F
→
03/13 18:51, , 287F
證明和我想的原理相同，這個工具能解決的問題都有類似特
03/13 18:51, 287F
→
03/13 18:55, , 288F
性，難在將題目翻譯成可以套用該工具的模式；有很多問題
03/13 18:55, 288F
→
03/13 18:56, , 289F
的翻譯神奇到簡直莫名其妙。另外原po延伸的問題也很有趣
03/13 18:56, 289F
→
03/13 18:56, , 290F
還在努力中...:P
03/13 18:56, 290F
推
03/16 23:18, , 291F
那個XDDDDDD 我真的是女的啦XDDDDDDD
03/16 23:18, 291F
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