[問題] n-th mgf of Binomial distribution

看板Statistics作者 (LiNz)時間3年前 (2020/09/19 18:20), 編輯推噓1(1推 0噓 10→)
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如標題，怎樣可以證明n階動差的二項分配 https://imgur.com/a/HJ1TV7f -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.127.57.27 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Statistics/M.1600510846.A.D95.html
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09/19 19:21, 3年前 , 1F
利用階差動差 E(X(X-1))
09/19 19:21, 1F
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09/19 22:21, 3年前 , 2F
我嘗試過 E(X(X-1)...(X+k-1))，可是這邊就有點卡住
09/19 22:21, 2F
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09/19 23:15, 3年前 , 3F
09/19 23:15, 3F
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09/19 23:18, 3年前 , 4F
好像直接算就好了
09/19 23:18, 4F
推
09/20 00:19, 3年前 , 5F
本來以為條件機率算會比較快，結果只算到這樣XD
09/20 00:19, 5F
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09/20 00:19, 3年前 , 6F
E(X^k)=(1-p)*E(Y^k)+p*E[(1+Y)^k]
09/20 00:19, 6F
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09/20 00:19, 3年前 , 7F
應該還是直接展開整理最快
09/20 00:19, 7F
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09/20 07:57, 3年前 , 8F
E[X(X-1)...(X-k+1)] =Σx(x-1)...(x-k+1)C(n,x)p^xq^(n-x)
09/20 07:57, 8F
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09/20 07:59, 3年前 , 9F
= n(n-1)...(n-k+1)ΣC(n-k,x-k)p^xq^(n-x)
09/20 07:59, 9F
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09/20 07:59, 3年前 , 10F
= n(n-1)...(n-k+1)p^k
09/20 07:59, 10F
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09/20 08:00, 3年前 , 11F
由階乘動差→原點動差→中心動差.
09/20 08:00, 11F
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