[問題] 樣本平均數及變異數的抽樣分配自由度?

看板Statistics作者 (好天氣，好心情~)時間10年前 (2015/12/22 18:07), 編輯推噓13(13推 0噓 66→)
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最近念到樣本平均數跟樣本變異數的抽樣分配 一直不太懂的是 為什麼當μ已知時 s^2的抽樣分配的自由度是n 未知時是n-1 當μ已知 S^2 = 1/nΣ(Xi-μ)^2 當μ未知 S^2 = 1/(n-1)Σ(Xi-Xbar)^2 (Σi=1~n) 而當σ已知時 Xbar的抽樣分配自由度也是n 未知時n-1 是因為未知的時候要用Xbar跟s來分別估計μ跟σ嗎? 然後為什麼在σ未知的情況下 Xbar的抽樣分配要換成用t統計量算呢? 感謝各位大大解惑了QQ m(_ _)m -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.117.71.162 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Statistics/M.1450778852.A.BC8.html
推
12/22 19:42, , 1F
這樣才會符合估計的不偏性 而且期望值=母群變異
12/22 19:42, 1F
推
12/22 19:49, , 2F
少一個自由度 抽樣分配就會變的較不穩定 從常態變高狹
12/22 19:49, 2F
→
12/22 19:50, , 3F
你是大一？還是大二以上？有學過數理統計學嗎？
12/22 19:50, 3F
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12/22 19:51, , 4F
板主 這應該可由數理統計的公式去證明吧？
12/22 19:51, 4F
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12/22 19:53, , 5F
12/22 19:53, 5F
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12/22 19:53, , 6F
他假設是常態，不過其實任意分布，期望值變異數存在
12/22 19:53, 6F
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12/22 19:54, , 7F
即可
12/22 19:54, 7F
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12/22 19:54, , 8F
這個證明，大一只需要稍微看過就好
12/22 19:54, 8F
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12/22 19:54, , 9F
學數統的話，要把前提記清楚，證明也要會
12/22 19:54, 9F
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12/22 19:55, , 10F
大二以上非統計的話，稍微看過即可
12/22 19:55, 10F
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12/22 19:56, , 11F
抽象一點，解釋的話，你sample是在n維，mu unknown
12/22 19:56, 11F
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12/22 19:57, , 12F
下，你要先估計mu，會被占走一個維度，
12/22 19:57, 12F
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12/22 19:57, , 13F
由剩下n-1個維度去估計變異數
12/22 19:57, 13F
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12/22 19:58, , 14F
回circlelee大大，是在數統裡證明沒錯
12/22 19:58, 14F
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12/22 19:58, , 15F
跟數統公式無關吧
12/22 19:58, 15F
推
12/22 19:59, , 16F
有種說法是 xbar被拿去估計母群的mu，為了讓xbar固定
12/22 19:59, 16F
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12/22 20:00, , 17F
自由抽樣的個數 從n個 變成n-1
12/22 20:00, 17F
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12/22 20:00, , 18F
板主： 我是指的是 常態分配的公式 推導成t分配的過程
12/22 20:00, 18F
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12/22 20:02, , 19F
常態推到t?? t分布應該是定義出來的吧XDDD
12/22 20:02, 19F
推
12/22 20:04, , 20F
常態等於t分配自由度無窮大，自由度愈大愈接近常態
12/22 20:04, 20F
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12/22 20:05, , 21F
自由度愈小 則愈顯高狹 所以我才想像t可由常態推導
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12/22 20:05, , 22F
那是t分配的特性
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12/22 20:05, , 23F
不過理論上的東西 我就比較不懂 我推想而已
12/22 20:05, 23F
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12/22 20:08, , 24F
t檢定是被提出來，建議變異數未知下，使用它可以有
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12/22 20:08, , 25F
比較好的檢定力
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12/22 20:09, , 26F
有興趣可以比比看變異數未知下，z-test跟t-test的
12/22 20:09, 26F
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12/22 20:09, , 27F
檢定力
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12/22 20:09, , 28F
還有型一誤差
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12/22 20:09, , 29F
如果上述有錯，再麻煩其他大大更正。
12/22 20:09, 29F
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12/22 20:40, , 30F
更正一件事情，t分配是mu unknown時，X bar的抽樣
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12/22 20:40, , 31F
分配，應該是被推導出來的，上面說定義不合宜。
12/22 20:40, 31F
推
12/22 21:09, , 32F
推板主認真！
12/22 21:09, 32F
推
12/22 22:45, , 33F
可利用 Σ(Xi-μ)^2=Σ(Xi-μ)^2+n(Xbar-μ)^2 去看
12/22 22:45, 33F
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12/22 22:46, , 34F
Σ(Xi-μ)^2/σ^2=ΣZi^2為卡方(n)分配
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12/22 22:46, , 35F
n(Xbar-μ)^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2=Z^2為卡方(1)分配
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12/22 22:47, , 36F
故Q=Σ(Xi-Xbar)^2/σ^2=(n-1)S^2/σ^2為χ^2(n-1)分配
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12/22 22:48, , 37F
由上面也可看出Σ(Xi-μ)^2自由度為n
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12/22 22:48, , 38F
μ被Xbar取代後 Σ(Xi-Xbar)^2 自由度成為n-1
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12/22 22:50, , 39F
定義t=Z/√(Q/v) 為自由度v的t分配
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12/22 22:50, , 40F
這裡 Z=(Xbar-μ)/(σ/√n) , Q=(n-1)S^2/σ^2 , v=n-1
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都代進去後消一消就可得 t=(Xbar-μ)/(s/√n) 為自由度
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n-1的t分配
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我推文第三行有漏
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n(Xbar-μ)^2/σ^2=[(Xbar-μ)/(σ/√n)]^2 才對
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12/22 23:55, , 45F
感謝版主、circle大跟gosh大!!! 看到不偏性之後翻一下
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書就大概懂了 第二個t分配那邊是用推導出來的 是我一
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推
12/22 23:58, , 47F
不偏性可解釋為何樣本變異數分母要除以n-1
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開始沒看懂 我再研究一下
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12/22 23:58, , 49F
不過自由度會減一最主要還是因為用Xbar取代μ
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12/23 00:00, , 50F
想問一下circle大 自由度那邊你說"為了讓Xbar固定"
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12/23 00:01, , 51F
是要固定成什麼值阿?
12/23 00:01, 51F
推
12/23 00:01, , 52F
其實Σ(Xi-Xbar)^2/"n"也可當作樣本變異數
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他也有蠻多好的性質 只是沒有不偏性 而他自由度還是n-1
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gosh大 所以可以解釋成 為了符合不偏性所以要除以n-1
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12/23 00:04, , 55F
嗎? 其實還是不太懂為什麼是n-1@@ 有點抽象
12/23 00:04, 55F
推
12/23 00:05, , 56F
數學的結果 S^2=Σ(Xi-Xbar)^2/"n-1"
12/23 00:05, 56F
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12/23 00:06, , 57F
才會有 E(S^2)=...(數學運算)...=σ^2
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12/23 00:09, , 58F
嗯...計算過程我懂 但要怎麼解釋讓他比較好記是我正
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12/23 00:09, , 59F
傷腦筋的地方ˊ^ˋ
12/23 00:09, 59F
推
12/23 00:10, , 60F
不偏性就是平均來說會中的意思 你可以看成在射標靶
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12/23 00:10, , 61F
雖然不會每次正中紅心 但平均來說是在紅心的地方
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推
12/23 00:12, , 62F
至於為什麼除以n-1會有不偏性 很難用直覺去想XD
12/23 00:12, 62F
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12/23 00:13, , 63F
你可以找個例子驗證 做出樣本平均數的抽樣分配
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12/23 00:14, , 64F
會發現真的需要除以n-1 才會滿足不偏性
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12/23 00:17, , 65F
剛剛上面circle大的"為了讓固定Xbar"的說法我好像快懂
12/23 00:17, 65F
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12/23 00:17, , 66F
了可是還差一點XD
12/23 00:17, 66F
推
12/23 10:27, , 67F
Xbar要假裝成母群的mu 所以在抽樣分配中 就不能動
12/23 10:27, 67F
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12/23 10:28, , 68F
不能動的情況下，自由度就少了1個。
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12/23 10:28, , 69F
比如 某三個數的平均數為10 前兩個數自由抽取為14、9
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12/23 10:29, , 70F
最後一個數 就不能動 一定要變成7 這樣平均才會是10
12/23 10:29, 70F
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12/23 10:31, , 71F
變異數的概念 也就是 離均差平方和 除以 自由度
12/23 10:31, 71F
推
12/23 11:27, , 72F
12/23 11:27, 72F
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12/23 14:29, , 73F
circle大 所以是因為Xbar要固定成某個值(但不一定是)
12/23 14:29, 73F
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12/23 14:29, , 74F
真正的mu) 所以要少一個自由度囉?
12/23 14:29, 74F
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12/23 17:05, , 75F
不是某個值，就是要當成mu！mu的唯一估計值
12/23 17:05, 75F
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12/24 08:41, , 76F
談 "自由度" 完全可以不涉及 "不偏" 與否的問題. 可參考
12/24 08:41, 76F
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12/24 08:43, , 77F
telnet://bs2.to:443 Statistics 版精華區 3→1→14
12/24 08:43, 77F
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12/24 08:44, , 78F
Xbar 若要談自由度, 定的自由度是 1, 不是 n-1 也不是 n.
12/24 08:44, 78F
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12/26 19:42, , 79F
感謝yhlin大!!! 用離均差來解釋就懂了!!! 太感謝了QQQ
12/26 19:42, 79F
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