Re: [問題] 估計的問題
原題目：
X ~ Gamma(α,λ)，λ_mle = 1/xbar
試問(1)λ_mle是否為λ之不偏估計量?
(2)λ_mle是否為λ之一致估計量?
在解題之前，我們先來看E(1/X)為何？
∞ λ^α
E(1/X) = ∫ (1/x)*----- *x^(α-1)*e^(-λx)dx
0 Γ(α)
λ^α ∞
= ------*∫ (1/x)*x^(α-1)*e^(-λx)dx
Γ(α) 0
λ^α ∞
= ------*∫ x^(α-2)*e^(-λx)dx
Γ(α) 0 ^^^^^
α-2 = (α-1)-1
λ^α Γ(α-1) λ
= ------*-------- = -----
Γ(α) λ^(α-1) α-1
同理 E(1/X^2) 也可以用這樣的算法算出來。
所以 Var(1/X) 就只是順水推舟而已。
Σx_i i.i.d
最後，若xbar = ----- , i=1,2,3...n，其中x_i ～ gamma(α,λ)
n
則 xbar ~ gamma(nα,nλ)
這是Gamma分配的一個小小的推廣。至於證明用mgf就可以搞定，我就不寫了。
有了這些提示，我想不偏性跟一致性應該就很容易下手了。
哪邊有錯誤，還請版友指正。
心得：
因為不會用LaTeX語法，只好用BBS排版，
算是看了數學版那串zeta/gamma的筆仗的小小收穫。
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