[問題] 關於joint pdf的觀念

看板Statistics作者 (michael)時間13年前 (2013/01/11 11:05), 編輯推噓0(0推 0噓 10→)
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設 隨機變數 X 為uniform distribution 在(0,1) =>即f(x)=1 且另一隨機變數Y=X^2 求E(XY) 1 課本作法是E(XY)=E(X*X^2)=E(X^3)=∫x^3*1dx=1/4 0 這個做法我了解 不過我想說換個做法，找f(x,y)再用雙重積分求解 於是我卡在一個問題，這樣子的joint pdf f(x,y)找的到嗎？ 因為課本講的方法都是給f(x,y)然後去由X、Y映射的 新隨機變數U、V的joint pdf f(u,v) 像這種要怎麼找joint pdf呢？ 如果找到了，所求可以如下嗎？ 1 x^2 E(XY)=∫∫ xy*f(x,y)dydx 上色比較好看，無其他意義 0 0 麻煩高手教我了> < -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.216.85
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01/11 13:16, , 1F
可.對y=x^2做線積分求x在(0,1)間的弧長 sec*tan - ....
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再把弧長倒數就是 f(x,y), 但定義域為 y=x^2 在 x 屬於
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(0,1)上的曲線. E(XY) 可求得相同.
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請問為何要求弧長再取倒數呢？ 另外得到f(x,y)之後，對y的積分上下限是多少呢？ 對x的上下限應該是1吧@@ ※ 編輯: friendever 來自: 140.114.216.85 (01/11 19:18)
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01/11 23:14, , 4F
因為X為U(0,1), Y 為 X 的函數, (X,Y)為 y=x^2 上的
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線上的uniform分佈,故為弧長的倒數.使得機率為1.
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轉換後,x為(0,1),但y不是(0,1),而是y=x^2那條線.
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要對y做線積分,而不是整個線下與x軸的面做積分.
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01/12 04:47, , 8F
Y=X^2, 因此 X,Y 沒有聯合 p.d.f..
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01/12 04:48, , 9F
Given X=x, Y 的條件分布是退化為一點 Y=x^2 的單點質量.
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01/12 04:49, , 10F
因此, 只能用 E[XY] = E[E[XY|X]] = E[X E[Y|X]] = E[X^3].
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