AR(1)的極限分配
假如有一個隨機變數 X_t依循 waek stationary AR(1), 即
X_(t+1) = c*X_t + e_t, X_0 = 0,
這裡 e_t 是變異數為 σ^2 的 iid white noise, |c|<1.
若 e_t ~ N ( 0, σ^2 ), 可知對任一有限期的 X_t 亦依循常態分配.
假如獨立常態隨機變數的和的運算的極限滿足封閉性, 則
d
X_t → N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
問題：
[1]
怎知 X_t 極限分配為常態分配？比如說, 怎知 "極限運算滿足封閉性"？
[2]
若我們沒有規定 e_t 的具體分配為何, 那麼,
X_t 的極限分配有確定形式嗎？ （有這種版本的中央極限定里嗎？）
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因為我先前執著於想一般的問題,
希望有某種適用於 AR 版本的 CLT, 所以想岔了.
原題的確很簡單, 此處且自問自答:
因為 X_t ~ N ( 0, σ^2*[1-c^(2t)]/(1-c^2) ), 所以
X_t 的 極限分配的確是 N ( 0, σ^2/(1-c^2) ).
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請教樓上:
在本文假設下(e_t有二次動差,iid), 嗯, 若有需要的話加上四階動差,
X_t可能不收斂嗎?
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問題的背景:
在一般的情況下, e_t 為 σ^2 的 white noise,
由 covariance stationary 的結果都可以知道 X_t 前兩階動差的值了.
然而, 這並沒有進一步刻劃 X_t 極限分配的具體形式.
我覺得這個問題可能沒有漂亮的結果,
比如說, 若 e_t ~ U(-1,1), e_t 有任意階的動差.
此時, 任意 X_t 均不為常態分配.
若 X_t 的極限分配, 記為 X, 為常態分配,
則 c*X + e_∞ 也將是 X,
兩個常態分配的線性組合竟是均勻分配, 這應該是錯的吧.
而我所知道的的 CLT 版本不會有這樣不合理的情形,
關鍵在於, X_(t+1) 中, 相鄰幾期的 e_t 的權重太大了.
所以, 關於這個問題, 也許不應該說是什麼 CLT, 而是:
若 X_t 遵循定態 AR(1), 有沒有定理對 X_t 的極限分配有比較一般的刻劃.
感謝賜教.
※ 編輯: gg 來自: 114.45.230.215 (05/18 05:05)
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