[問題] 動差母函數的由來和歷史

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※ [本文轉錄自 Math 看板 #1DaqipiK ] 作者: andy2007 (...) 看板: Math 標題: [機統] 動差母函數的由來和歷史 時間: Wed Mar 30 23:24:33 2011 前輩們好，今天又要來麻煩各位了。 書上看到有關於動差母函數的定義如下： 對於具有密度函數 f (x) 之隨機變數 X 而言，若以下期望值計算存在， X 則其結果稱為 X 之動差母函數，記作M (t)。 X tX ∞ tX M (t) = E[ e ] = ∫ f (x) e dx X -∞ X 有疑問的地方是為什麼要取 e^tX 取期望值，是有什麼特別的原因嗎？ 經過微分的動作之後明白，如果取 e^tX 的話微分之後可以得到ｎ次動差 但是真的只有「e^tX這個函數的性質很特別，微分ｎ次便可以得到ｎ次動差」這個原因嗎？ 是否有其他的關係或者是歷史呢？ 在數學傳播的文章中：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d93/9301.pdf 的第七頁中寫到了： 在機率學上，他(拉普拉斯)首先引用了「動距母函數」(moment generating function)。 令 X 為一取自然數值的隨機變數，則稱 ∞ n f (t) = Σ P( X = n ) t 為 X 的動距母函數。 n=0 同樣是動差母函數，為什麼一個是 e^tX，而另一個是 t^n 呢？ 有什麼地方不一樣的嗎？ 雖然維基百科上面是定義動差母函數就是這樣 http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function 但是我還是想知道各位前輩的想法是如何 問了奇怪的問題，還請各位前輩們多多包含，替我指點迷津 再次感謝各位前輩們的幫助～謝謝您們～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.125.169.71 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.125.169.71
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E[t^X] 在工數或離散稱 generating function, 在統計上有兩
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個稱呼: probability generating function 與 factorial
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moment generating function. 若 X 的有效值域是非負整數子
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集, 則 E[t^X] 在 t=0 展開, 其 t^k 係數即是 P[X=k].
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若 E[t^X] 存在於一個包含 1 的開區間, 將它在 t=1 展開成
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冪級數, 則係數是 E[X(X-1)...(X-k+1)]/k!. 把 t 變成 e^u,
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成為 E[e^(uX)], 即是動差母函數(moment generating funct.)
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m.g.f. 存在的意義是 E[e^(tX)] 在包含 0 的一個開區間存在,
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這與 f.m.g.f. 的存在是在一個包含 1 的開區間成立相對應.
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又, Laplace 變換在 p.d.f. 相當於 E[e^{-sX}], 而 Fourier
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變換是 E[e^{itX}], 在統計上也就是 characteristic funct.
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感謝yhliu前輩的詳細說明～再次謝謝您～
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