[問題] 有關均勻分配母數U(θ,1)的最大概似估計式
n i.i.d. ︿ ︿
{Xi} ~~~~~~~~ U(θ,1) ,求θ的最大概似估計式θ,及E(θ)
i=1
底下是我解的過程,但總覺得解出來的答案很怪,請大家幫忙看一下是不是哪裡有算錯,
感謝.m(_ _)m
sol:
(1)
n
概似函數L(θ)= Π f(xi;θ)
i=1
1
= ───────
(1-θ)^n
=>lnL(θ)=-nln(1-θ)
2 2
=>dlnL/dθ=n/(1-θ) >0 ; d lnL/d θ= -n/(1-θ)^2 <0
可繪出以lnL為縱軸,θ為橫軸的圖,圖形為一斜率大於零,但斜率漸漸變小的曲線
(此處不變作圖,圖略)
︿
由圖可知取θ=Yn = max(X1,X2,...Xn) 可使lnL(θ)最大
(2)
by順序統計量公式
n-1
可知f (yn) = n{ F (yn)} f (yn) (note:yn的n為下標)
Yn X x
yn-θ n-1 1
= n{ ─────} ─────
1-θ 1-θ
1
=>E(Yn) = ∫yn f (yn) dyn
θ Yn
n 1 yn-θ n-1
= ─── ∫yn { ─────} dyn 。。。。。。(1)
1-θ θ 1-θ
yn-θ
令 ─── = t => yn= t(1-θ) +θ
1-θ
dyn =(1-θ)dt
則(1)
n 1
= ─── ∫[t(1-θ) +θ] t^(n-1) (1-θ)dt
1-θ 0
1
= n ∫(1-θ)(t)^n + (θ) t^(n-1) dt
0
1 1 1
= n { (1-θ) ─── t^(n+1) + (θ) ─── t^n } |
n+1 n 0
1 1
= n { (1-θ) ─── + (θ) ─── }
n+1 n
= (1-θ)n/(n+1) + θ
= (1-θ)n/(n+1) + θ(n+1)/(n+1)
= (n+θ)/(n+1)
= n/(n+1) + θ/(n+1)
請問有哪裡解錯嗎 ? E(Yn)的答案出現一個常數 感覺很奇怪|||b
※ 編輯: bookticket 來自: 140.112.251.196 (04/16 14:02)
推
04/16 22:33, , 1F
04/16 22:33, 1F
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