Re: [問題] 統計新手的疑問
※ 引述《sky91302018 (sky)》之銘言：
: 題目:若已知全班50位同學的最高分與最低分差距是30分，
: 請問這班學生成績的最大可能之標準差是多少?最小可能之標準差是多少分?
: 請問板上高手我知道要這樣設但卻不明所以，希望有人可以解釋給我聽或是証給我看
: 感激不盡 <(_ _)>
: (1)最大標準差：必須50人當中，25人最高分，25人最低分
: (2)最小標準差：50人當中，1人最高分，一人最低分，其他人全部落在平均數上
假設有(N-1)位同學為最低分(a) 1位同學為最高分(a+30)
只有(N-2)個人分數可變動 N>=2 & N為自然數
在此情況下變異數為
Var = 1/N*[(N*a^2+60a+900)-1/N*(N*a+30)^2]
^^^^^^
總分
又設總分變為N*a+30+c時 0 <= c <= 840(=30*28)
c/30 = q......e (q餘e)
c/(N-2) = k
則
當q個人分數變為a+30 一個人變為a+e時有最大值
max Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+q*30^2+e^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2]
將c分段來討論
分成0<=c<30(q=0,e=c) 1*30<=c<2*30(q=1,e=c-q) ... 27*30<=c<28*30 c=840
作一次&二次微分後 可求出極值
當(N-2)個人分數變為a+k時有最小值
min Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+(1/(N-2))*c^2))-(1/N)*(N*a+30+c)^2]
作一次&二次微分後 可求出極值
Appendix
總分變為*a+30+c時
設(N-2)個分數可變動的人的第i個分數變為 a+d(i) 0<=d(i)<=30 1<=i<=(N-2)
Var = (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*(d(1)+...+d(N-2))+d(1)^2+...+d(N-2)^2))
^^^^^^^^^^^^^^^
= c
-(1/N)*(N*a+30+c)^2]
= (1/N)*[(N*a^2+2*30*a+30^2+(2*a*c+d(1)^2+...+d(N-2)^2))
-(1/N)*(N*a+30+c)^2]
所以 Var的大小只跟d(1)^2+...+d(N-2)^2有關
限制式是 d(1)+...+d(N-2) = c
0<=d(i)<=30
用Lagrange multiplier method 或 數學歸納法 可以求出given c下的極值
(因為懶惰 所以不詳述了 ><)
max => 有q個是30 1個是e
min => (N-2)個都是k
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※ 編輯: lbbear 來自: 140.113.28.194 (12/28 14:06)
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12/28 20:05, , 1F
12/28 20:05, 1F
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