Re: 「樣本標準差」為什麼要除以「n減 1」?
※ 引述《stareu.bbs@ptt.cc (bell)》之銘言：
> 「樣本標準差」為什麼要除以「n減 1」?
> 有高手可以幫我解答嗎?
> 謝謝~
作者 yhliu () 看板 math
標題 Re: [問題] 請問統計 標準差 問題.........
時間 2005/06/16 Thu 11:49:03
※ 引述《rfvbst.bbs@bbs.ntnu.edu.tw (冬天陽光下的詩人)》之銘言：
> 為何樣本的標準差定義 分母要總個數少一 但母群體的不用 可否請懂的人
> 解釋一下 謝謝.....
雖然是老問題了, 也看不到有人提出新的答案. 那麼, 就
先剪貼幾段舊回答來看看吧!
(1)
以樣本標準差而言, 用 n-1 除是為了滿足 "不偏性", 如此而已.
不過, 此處「不偏性」是對其平方, 也就是對變異數來說的!
對標準差而言, 「不偏性」仍不成立。
(2)
(計算標準差時)
除以 n 或除以 n-1 都有其道理! 只是常用於不同場合。
一般的規則是: 如果資料是屬於「群體」資料,則用 n 來
除; 若是屬於「樣本」資料, 則除以n-1。
它的想法是: 若樣本資料是從一個很大的群體用隨機方式
抽取, 則計算樣本標準差時用 n-1 來除比較不會低估---
意思就是: 如果要用樣本標準差估計群體標準差,則用n-1
來除比較少低估現象。
而計算群體標準差時用 n 來除,是符合直覺的想法: 把各
資料點和平均數間差距平方後再「平均」, 用以衡量平均
的「變異」。因「變異」是差異量的平方, 所以平方後再
求其平方根而成為標準差。
(3)
從「變異數」來看, 它代表「平均變異」。
既是平均, 直覺上應該用觀測數 n 來除。但原資料 n 個
變異 (Xi-Xbar)^2 只有 n-1 個是「有效的」--- 我的意
思是: 決定了其中 n-1 個, 剩下一個就決定了。例如n=2,
X1-Xbar=(X1-X2)/2=-(X2-Xbar)。
再者, 在樣本資料中計算變異量本來應計算(Xi-M)^2, 此
處 M 代表群體平均, 但我用的是 Xbar.
(Xi-M)^2 的總和
= (Xi-Xbar)^2 的總和 + n(Xbar-M)^2
^^^^^^^^^^^^^^
也就是說: 樣本變異量 (Xi-Xbar)^2 的總和 比 (Xi-M)^2
的總和少了一點點。因此, 用 n-1 來除是比較合理的。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
那麼, 為甚麼在計算 "群體變異數" 時不以 N-1 來除呢?
其實在群體也是可以用 N-1 來除的! 只是書上不說,所以
考試時你最好乖乖地用 N 當分母.
難道教科書的作者都不講道理嗎? 非也, 非也!
甚麼是一個 "群體"? 甚麼是 "群體大小" N?
"群體大小" N 只是對所謂 "有限群體" 是有效的! 而且,
所謂 "有限群體" 只是就抽樣時採 "抽出後不放回" 的方.
式才存在的. 實務的 "調查" 都是這種有限群體抽出後不
放回的抽樣方式. 因此, 抽樣調查或抽樣方法的書確實都
有用 N-1 當分母的 "群體變異數"/"群體標準差" 的公式.
但實際上 N 是很大的! 對台灣地區20歲以上人口抽樣, N
是多少? 這麼大的 N, 用 N 或用 N-1 除有差嗎? (注意:
這是統計, 不是數學問題! 重視實務的統計不會去煩惱以
10000000 當分母或以 9999999 當分母的差異.)
而在一般統計學中, 根本不談有限群體! 在講 "隨機抽樣"
時是假設 "抽出後放回" 的抽法. 因此, 即使群體只有少
數個體, 每一個體可被重複抽到, 等於有無限個個體. 那
麼, "N" 是甚麼? 事實上這時 N 是無窮大! 如果 N=∞,
還煩惱甚麼 N 或 N-1?
可是, 還是有個群體的 N 啊!?
上面說了: 考慮抽出後放回.... 假設群體值是 1,2,3,4,
N=4. "抽出後放回" 相當於把它各複製無限多份: 有無限
多個 "1", 無限多個 "2" ... 都是 "無限多個", 不就亂
成一團? 所以我們用 "有限個" 去代替無限吧! 假設有 k
個 1, k 個 2, k 個 3, k 個 4. 所以,"群體大小" 不再
是 N=4, 而是 N=4k. 所以, 分母用 (群體大小 - 1) 時,
是 4k-1 而不是 4-1=3. 然後,你可以發現用 4k 或 4k-1
當除數, 其實都變成一樣!
--
夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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