Re: [問題] 怎麼證明中位數是最短距離而不是平均數?
※ 引述《black1222.bbs@ptt.cc (八樓狂想)》之銘言：
> 如題
> 遇到題目常常用實例去代
> 他可以用證明來表示嗎
> 或者用很日常生活中的例子
> 真的很難去聯想><"
*先前在本版沒貼過?
本文方法只適用於離散型(含有限個資料點的情形)。連續
型應不難做; 混合型則在碩士級數統教本上有, 或者是習
題。
平均離差: Σp(i)|x(i)-c|
在統計學中, c 一般是取平均數或中位數。
這裡假設 c 可以是任意的。而本文是要証
明: 當 c 是中位數時, 上列平均離差最小。
中位數: m 為 r.v. X～P(X=x(i))=p(i), i=1,2,...
(有限個資料點 i=1,2,...,n 可取 p(i)=1/n)
之中位數, 意指:
P[X<=m] >= 1/2 <= P[X>=m] (*)
令 V(c)=Σp(i)|x(i)-c|
則 V(c)=Σ'p(i)(x(i)-c)+Σ"p(i)(c-x(i))
其中 Σ' 的範圍是 i: x(i)>c;
Σ" 的範圍是 i: x(i)<c;
當 Σ"p(i) > Σ'p(i) 時, V(c) 上升 (斜率為正);
當 Σ"p(i) < Σ'p(i) 時, V(c) 下降 (斜率為負)。
只要 c 夠小, 必有Σ"p(i) < Σ'p(i);
c 夠大則可得 Σ"p(i) > Σ'p(i)。
而 V(c) 之最低點發生在 c
使 Σ"p(i) 由比 Σ"p(i) 小轉成比 Σ"p(i) 大之處。
但使 Σ"p(i) 由比 Σ"p(i) 小轉成比 Σ"p(i) 大的 c
代入 (*) 式的 m 能使 (*) 成立。
故得証 c 是中位數時, 平均離差 Σp(i)|x(i)-c| 最小。
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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