[問題] 一題計算事後機率的貝式估計

看板Statistics作者buttermilk (脫脂牛奶)時間19年前 (2007/03/05 20:47)推噓5(5推 0噓 6→)

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Let Y be the sum of the observations of a random sample from a Poisson distribution with mean θ. Let the prior p.d.f. of θ be a gamma one with parameters α and β. (a) Find the posterior p.d.f. of θ, given Y = y. (b), (c)題目不打，因為我應該會算。我的做法如下： Let Y = X_1 + X_2 + ... + X_n, where X_i ~ Poisson(θ). 1 h(θ) = ------------- θ^(α-1)﹒e^(-θ/β) Γ(α)β^α E(Y) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nθ Var(Y) = Var(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nθ ∴ Y ~ Poisson(nθ) (nθ)^y﹒e^(-nθ) => g(y|θ) = -------------------- y! k(θ|y) ￡ g(y|θ)h(θ) ( ￡符號表成正比 ) (nθ)^y﹒e^(-nθ) θ^(α-1)﹒e^(-θ/β) = -------------------﹒----------------------- y! Γ(α)β^α k(θ|y) ￡ θ^(α+y-1)﹒e^[-θ(n + 1/β)] Thus the posterior p.d.f. of θ is gamma with parameters α+y and 1/(n+1/β). PS：請問我整題這樣寫對不對？還有，從黃色推到綠色的部份對不對？是不是找到隨機變數的mean和variance後，它的分配就確定了？所以我找到Y的mean和variance都是一樣的，因此Y~Poisson(nθ)。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.203.242.21

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