Re: [難題] convergence using markov chain
※ 引述《littlefive.bbs@ptt.cc (名偵探毛利小五郎)》之銘言：
> Let n be a prime, and X_i be iid random variables on the set {1,2,... n}.
> Let S_k = X_1 + ... + X_k (mod n).
> Show that S_k converges in distribution to the uniform distribution on {1...n}
> [Hint: Define an appropriate Markov chain.]
> 我目前的想法 :
> - n is a prime => {0,2,...,n-1} is a field
漏了 1?
> - 定義馬可夫鏈為 S_k 的值 at step k
> - iid X_i on {0,... n} => 矩陣每行每列的和都是 1...
> 不知道這樣是否合理? 請高手指點... ((_ _))
設 X_i 的分布為 (p_1,...,p_n).
對這分布必須有所限制, 否則例如機率集中於某個值, 例
如 p_1=1, 則 S_k 不可能收斂, 而是在各狀態間循環.
{S_k, k=0,1,2,...} 的 transition probability matrix
為
1 2 . . . 0
1 [ p_n p_1 . . . p_{n-1} ]
2 [ p_{n-1} p_n . . . p_{n-2} ]
: [ : : . : ]
: [ : : . : ]
0 [ p_1 p_2 . . . p_n ]
一個特例是所有 p_i 都是正的 (否則結論能否成立?)
於此情形此 Markov chain 是 ergodic, 極限分布存在.
計算之.
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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