Re: 用R產生已知樣本平均數的資料?
※ 引述《kh749.bbs@ptt.cc (ReturnTo)》之銘言：
> 我該怎麼產生樣本平均數為0,變異數1的一組符合normal分布的資料呢?
對這問題, 我的解讀是:
產生具樣本平均數0,樣本標準差1的亂數,
且它們的 marginal 是 i.i.d. normal.
即
X_1,...,X_{10}～i.i.d. Normal,
受限於 \bar{X}=0 ,S=1.
若我的解讀沒錯, 就是要由
給定 ΣX_i = 0, ΣX_i^2 = 9 的條件下
(X_1,...,X_n) 的條件分布
產生所需要的亂數.
由於 \bar{X} 與 S 是 N(μ,σ^2) 的充分統計量, 因此
理論上這是可能的...即: 不需知道 μ,σ^2 就能產生這
樣的亂數.
由常態分布的 p.d.f. 出發, 可知上列條件分布是在 10
維球面 Σx_i^2 = 9 與超平面 Σx_i=0 交集上的均勻分
布. 就一般情形, 要產生 X_1,...,X_n i.i.d. 來自常態
又滿足 \bar{X} = a, S=s 的亂數, 就是從 n 維球面
Σx_i^2 = na^2 + (n-1)s^2
與超平面
Σx_i = na
交集上隨機取點. 這相當於在
Σ(x_i-a)^2 = (n-1)s^2
Σ(x_i-a) =0
交集上隨機取點.
顯然只要知道如何由 a=0, s=1 的情況產生所需亂數, 就
能處理一般問題了.
在 R^n 上取一 orthonormal basis, 其中一軸在 (1,...,1)
方向上. 在其他 n-1 軸取 "超圓"
z_2^2 + ... + z_n^2 = 1
於此 "超圓" 上隨機取點, 得 (0,z_2,...,z_n), 再以標
準基底表示 (即轉回標準座標).
問題是如何由 z_2^2 + ... + z_n^2 = 1 隨機取點?可能
可查閱 directional data 方面的書籍或論文. 以下是外
行人我的想法, 是否正確我不能確定; 是否可簡化留待原
問者或其他高手完成.
n=3 時,
z_2^2 + z_3^2 = 1
上隨機取點, 可用 (z_2,z_3) 平面上的極座標來處理:
z_2 = cosθ z_3 = sinθ
其中 θ 是 [0,2π) 間均勻分布.
n=4 時,
z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = 1
如果不同 "緯度" 被選中機率應與該緯線周長成比例(?)
則 z_4 在 [-1,1] 範圍內被選取機率應與 1-z_4^2 成比
例, 即 p.d.f.
h(z_4) = (3/4)(1-z_4^2), -1≦z_4≦1
然後在圓 z_2^2+z_3^2 = 1-z_4^2 上隨機取點.
n>4 依 n=4 的方法類推.
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
討論串 (同標題文章)
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