Re: [問題] 代po問一題數學
※ 引述《andrew80615 (風神腿聶風)》之銘言：
: 設P(X)是一個五次實數多項式,
: 若P(X)除以(X-3)的餘式是2,
: 且商式Q(X)是一個係數均為正數的多項式
: 問下列哪幾項正確
: (1)P(X)=0與Q(X)=0有共同的實根
: (2)3是P(X)=2唯一的實根
: (3)P(X)不被X-4整除
: (4)P(X)=0一定有小於3的實根
: (5)P(X)除以(X-3)(X+3)的餘式也是2
: 可有詳細解釋嗎?
假設 Q(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E A,B,C,D,E都是實數
P(x) = (x-3)Q(x) + 2
依題目可知 A,B,C,D,E都大於0
(1)
P(x) = 0 <=> (x-3)Q(x) + 2 = 0
1. 當 x 不等於 3 時
Q(x) = -2/(x-3) 不等於 0
所以 P(x) = 0 和 Q(x) = 0
沒有共同實根 ( 若有若有共同實根a <=> P(a) = Q(a) = 0 )
2. 當 x 等於 3 時
P(3) = 2 所以不合
(2)
P(x)-2 = (x-3)Q(x) = 0
3 是 P(x)-2 的實根，也就是 (x-3)Q(x) 的實根
但不一定只有一個 3，要看 Q(x)
(3)
P(4) = (4-3)Q(4) + 2 = Q(4) + 2 > 0
因為 Q(x) 的係數都大於零，所以 4 帶入Q(x)自然大於零
(4)
因為 P(x) 為五次實數多項式，所以它必有一實數根(因為虛根必成對出現)
而 P(3) = 2 > 0 而 P(x) = (x-3)Q(x) + 2 (當x>3時) 皆 > 0
同樣是因為Q(x)的係數皆大於零
也就是當 x >= 3 時都沒有 P(x) = 0 的解
所以P(x)必有一根小於 3
(5)
如果 P(x) 除以(x-3)(x+3) 的餘式 = 2 的話
那麼 (x+3) 必為 Q(x) 的因式
因為 P(x) = (x-3)Q(x) + 2
但是 (x+3) 不一定為 Q(x) 的因式
所以這個選項不能選
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07/17 04:00, , 1F
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