Re: [問題] 一題幾何問題
※ 引述《sostwe (sostwe)》之銘言：
: 圓的外切正五邊形跟內接正五邊形邊長比值是多少?
: (給的圖形是兩個正五邊形頂點都是同方向)
: 題示:正五邊形的對角線跟邊長比值是黃金比例
: 答案是根號五減一
: 家教學生問我 想半天都想不出來......
: 如果不轉圖形的話 可以算的出來嗎
: 請高手幫我解答 謝謝
已知黃金比例約為1：1.618，即（1+√5）/2
若五邊形的邊長為1，則對角線的長度為2cos36°
由題幹知2cos36°＝黃金比例＝（1+√5）/2
令圓半徑為x，
則x＝圓心到內接五邊形的頂點＝圓心到外切五邊形的邊的垂直距離。
五邊形的中心到邊的垂直距離：中心到頂點的距離＝cos36°
則內接五邊形的邊長＝2xsin36°
外切五邊形的邊長＝2xtan36°
可知外五邊邊長：內五邊邊長＝2xtan36°：2xsin36°
比值＝1/cos36°
＝2/黃金比例
＝4/1+√5）
＝4（√5-1）/4
＝√5-1
真的覺得畫圖出來會簡單一點XD
以上是會三角函數的情形。
不會三角函數的話，
令內接五邊形邊長為1，圓半徑為x
可知內接五邊形對角線長度為黃金比例的值（設為黃）
則內接五邊形對角線長度的一半為2/黃
因為圓半徑＝內接五邊形邊長的中心到頂點
則內接五邊形中心到邊的垂直距離：內接五邊形邊長的中心到頂點的距離
此比值亦為2/黃（可看出一對「相似」三角形，這也是黃金比例之所以黃金的地方XD）
因為外五邊形邊長：內五邊形邊長＝外五邊形的中心到頂點：內五邊形的中心到頂點
則此比例為2x/黃：x，比值即為2/黃。
也就是我們的√5-1，
簡單說就是要注意三角形間與五邊形間的相似形關係!
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推
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