Re: [問題] 請問橢圓的參數式 角度問題
※ 引述《berrybaby (該如何才能了解我)》之銘言：
: ※ 引述《spurs2120 (晴天霹靂吧?)》之銘言：
: : 假設橢圓的中心在原點，以原點為圓心，用長軸和短軸為半徑畫兩個圓
: : 則此二圓會和橢圓相切，切點就是四個頂點。
: : 從所要求參數式的點作水平線和鉛直線，會和兩圓各交於一點。這兩點
: : 和原點會共線，而這條線和 X軸的夾角 (好像叫做離心角的樣子) 就會
: : 是所求的角度。
: 那可以問一下 請問 雙曲的呢
: 既然按照前面一個版友說
: 長短軸不同的話 就不能用我以為的那個角度判斷
: 這樣的話 雙曲也會有可能無法這樣做囉
: 雖然雙曲的貫軸與共軛軸長有可能一樣
: 但是到底雙曲的角度該怎麼求呢
原本題目我之前家教時也遇到
我後來研究了一下 找出了原因
解釋有點長 不想看過程的可以看最下面的結論
我先用橢圓解釋好了
假設橢圓的方程式是
X^2 Y^2
------ + ------ =1
a^2 b^2
我們一般人直覺都會假設 橢圓的參數式是(x,y)=(a*cosΘ,b*sinΘ)
先想想為什麼會這麼設 還有想想參數是作什麼的??
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我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔
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其實參數式 是只希望用一個"變數"就代表這個曲線
只要這個參數能夠符合方程式即可
也就是說 你也可以令x=t 則參數式就成為
t^2
(x,y)=(t,b*(1 - ----)^(1/2))
a^2
只是這樣的參數式並不好用
所以我們希望找令一種比較好的假設法!!
於是有人就想到了 因為橢圓的標準式都是(變數一)^2+(變數二)^2=1
剛好跟三角函數中的 (cosΘ)^2+(sinΘ)^2=1 非常類似
所以
x y
才有人假設 ---=cosΘ ---=sinΘ
a b
再把這個假設法帶到方程式 發現不管Θ是多少都能符合橢圓標準式
所以是可行的
從開始到現在 我都沒有說Θ是角度 他只能算是一個變數
所以你也可以把Θ改成t 參數式還是成立!!
當然你也可以改變假設法 把(x,y)=(a*cosΘ,b*sinΘ)
改成(x,y)=(a*sinΘ,b*cosΘ)
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我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔線我是分隔
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至於雙曲線取參數式的方式也是類似
雙曲線希望找一種 (變數一)^2-(變數二)^2=1
在尋找當中 發現三角函數中有 (secΘ)^2-(tanΘ)^2=1
所以雙曲線
X^2 Y^2
------ - ------ =1
a^2 b^2
的參數式才會假設 x=asecΘ y=btanΘ
最後說到圓
這比較例外 我們也希望 找(變數一)^2+(變數二)^2=1
這跟橢圓很像 所以我們也設參數為(x,y)=(r*cosΘ,r*sinΘ)
只是....很湊巧的
這樣的假設法 Θ正好跟X軸的夾角一樣
所以大家才會有種錯覺
一直以為Θ就是與X軸的夾角
事實上 當你假設圓的參數式為(x,y)=(r*sinΘ,r*cosΘ) (注意cos 跟sin變了位置)
則此時的Θ就不是X軸夾角了
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下面是重點下面是重點下面是重點下面是重點下面是重點下面是重點下面是重點下面是重
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一般人都把圓錐曲線中參數式的Θ當作是與X軸的夾角 事實上不是
它只是一個變數(也就是一個參數)!!
只有圓在假設參數(x,y)=(r*cosΘ,r*sinΘ)時
妳才可以把Θ當作是與x軸的夾角!!
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