[問題] WKB Reflection Coefficient計算

看板Physics作者yuantsai (芋圓好吃)時間5年前 (2020/09/01 21:42)推噓1(1推 0噓 31→)

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其中 p 指得是粒子動量 p(x) = √2m[E-V(x)]，E是粒子的能量，m是粒子質量這邊作者為了避免根號在複變會有多值的問題，直接令一新變數w，接著處理w-domain的複變積分如下圖(2.30) 和 (2.31)式 https://imgur.com/R3PVibF

WKB 近似最大的問題就是在反曲點時 p=0，而這會造成上述被積分函數爆掉，所以作者考慮複變積分，假設發生在Wj這個點時，考慮會環繞Wj的封閉積分路徑得到(2.32) 1.這邊的封閉積分路徑作者並沒有說明，我的認為是將原本從負無限大到正無限大的在實軸上的積分做向上變形並形成無限大半徑的上半圓和包住奇異點Wj的小圓兩個積分，小圓能得到(2.32)式，但他是怎麼確定 p'/2p 的積分在無線遠處一定會收斂到0的 ? 因為p'/2p 可寫成 (-1/4)[ V'(x)/(E-V)]，這樣來看在無窮遠處是否收斂至0決定在分母的V(x)，偏偏分子是V'(x)，分母沒有高於分子兩次以上，所以在無窮遠處應該不等於0，還是說我想的積分路徑有問題 ? 接下來我認為作者後面是轉回原本的x-domain來處理積分 2. 接著作者假設奇異的反曲點是 p^2 的簡單零點，我的認知是 p^2 (x) 可寫為 p^2(z) = (z-a)g(z) 其中a 是奇異點，g(z)是解析函數，所以 p'/2p 這個函數可用 p^2 表示為 (p^2)'/(4p^2)，再將上式代入可得 (p^2)'/(4p^2) = (1/4){ [-a*g(z) + (z-a)g'(z)]/[(z-a)g(z)] } 上式乘上(z-a)並取極限 z=a 可得留數 R(a) = -a/4 所以得到(2.32)積分為 e^(2iWj)* 2πi*(-a/4) = e^(2iWj)*(-πai/2)，但我推出的這個積分值和(2.34)式不同，不曉得作者是如何推出來的? 奇怪的是(2.34)式沒有包含特定的奇異點，所以積分是independent of poles ? 這樣不就表示跟 potential V(x)無關，這是我認為奇怪的點! 這兩個問題卡了好幾天了，還請各位前輩賜教! 謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.50.159.229 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1598967758.A.670.html ※ 編輯: yuantsai (110.50.159.229 臺灣), 09/01/2020 21:49:30

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