[問題] 自然數之和 = -1/12

看板Physics作者 (Roshiel)時間3年前 (2020/07/19 19:28), 編輯推噓2(2推 0噓 65→)
留言67則, 7人參與, 3年前最新討論串1/1
看到這個影片突然有些疑惑 https://youtu.be/7AOCCVumSmQ
全體自然數之和 = -1/12 這個違反常理的答案在物理中可以找到對應的解答?? 我想問的是"卡西米爾效應" 影片中提到"卡西米爾效應"的實驗可以驗證自然數之和 = -1/12 好奇到底是什麼樣子的概念 有沒有大大能科普一下?? 感恩 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.205.48.233 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1595158117.A.AAE.html
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07/19 20:12, 3年前 , 1F
這跟一般求sum的概念，其實是不同的，你可參考 李永樂老師
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的說法
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其實你的影片也有提到這不是一般的求和了...
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推
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李永樂也沒說什麼，去看三藍一綜
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我知道這不是一般的求和，我好奇的點是實驗居然可以驗證
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自然數和=-1/12的結果
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數學/物理差異在哪 ?什麼是數學? 什麼是物理?
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物理要可以測量，數學不用(只要合乎邏輯)
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不知道我這理解有沒有錯誤
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我覺得，你說1+2+3+4+.... 數學上 = -1/12 就算了
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然後居然可以用實驗測量出來是 = -1/12 我就有點....
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感覺上實在是太違反我的常識了，所以才想請問一下那個
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-1/12 到底是什麼東西
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有隔板和沒隔板的所有可能振盪模式的能量差1/12乘
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某些常數
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用一些高階數學手段讓無窮大減無窮大能得到一個值
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真空其實有電磁場振盪，含有的能量跟電磁場總振盪
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模式有關
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所以就是實驗中發現有個1/12的常數項囉?
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07/20 21:10, 3年前 , 20F
看英文維基寫1997實驗測量到，和理論預測誤差5%以內
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07/20 21:59, 3年前 , 21F
我英文維基看到用黎曼Zeta函數後就投降了，不過他應該是
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直接用數值下去計算，發現跟實驗結果誤差5%以內
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這樣可以理解成自然數之和跟1/12有關聯嗎?
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07/20 22:01, 3年前 , 24F
自然數之和 = -1/12感覺上就是數學家玩出來的結果
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結果物理這樣搞，我實在完全無法想像
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之前有算過Landau diamagnetism裡面有用到，對實驗data
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fit出來的chemical potential之類印象中有準到XD
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推
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數學上等於-1/12的等於不是以前學的嚴謹相等，是用
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其他方法對發散的無窮級數求和的數值。
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Casimir effect是先有理論預測後來才作出實驗
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有一定程度的物理道理，能消掉計算會遇到的無限大。
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物理學家大概願意試試這種作法發展新理論吧。
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數學角度的想法我跟
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李永樂老師接近
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高中和微積分課問這級數和要回答發散，不是 -1/12
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應該說，就是有“物理道理”我才會這麼困惑
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那個 -1/12 到底是什麼東西
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物理的道理就是 量子場論不夠完美 本來量子場論算出來的真
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空能量就是無限大
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為了讓量子場論能解釋實際物理 發展了重整化的偷吃步技巧
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所謂的自然數之和等於-1/12 在物理上指的常常就是這個
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在Casimir effect上 真實的事其實是 板子中間跟板子外面的
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真空能量 "根據現有理論的計算" 都是無限大的
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但重整化的技術卻確保了 雖然有些量算出來是無意義的 但"可
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觀測"的物理量 卻還是能得到有意義的解 而且看來跟實驗能自
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洽 以這個Casimir effect的例子 就是至少吸引力是能算出的
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雖然真空能量無法在量子場論的框架下得出合理解 但板子的吸
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引力是來自板內跟板外的真空能量不同而導致的 重整化技術
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就是確保 白話來講 怎樣有意的來處理無限大跟無限大之間差
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距 這往往才是可觀測的物理量 像在Casimir effect 就是板內
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跟板外真空能量的差距 這才是導致板子之間的力的來源
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少打字:怎樣"有意義"的處理無限大跟無限大之間差距
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07/21 09:48, 3年前 , 53F
既然重整化是一種偷吃步的技巧，但是實際實驗測量出來就
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是能用，是不是代表自然數之和=-1/12代表某種真理?
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或者就只是"矇"對?
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07/21 09:49, 3年前 , 56F
因為弦論與超弦也用了自然數之和=-1/12來計算維度
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我已經說了 那個值是多少其實不重要 真正有意義的是差
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07/21 10:14, 3年前 , 58F
數學上 全體自然數之和當然不等於-1/12 數學上 這只是指
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07/21 10:16, 3年前 , 59F
zeta函數在-1的時候是-1/12 而zeta函數有起始定義 naively
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07/21 10:17, 3年前 , 60F
的把s=-1帶進去 會得到全體自然數的和 但這只是因為錯用定
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07/21 10:18, 3年前 , 61F
義 真正在s=-1的定義 是透過本來定義的解析沿拓而得的
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物理上 就是我說的 關鍵在於 真空能量在無論古典或量子場論
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07/21 10:19, 3年前 , 63F
都是無限大的 這代表理論的不足夠 但透過重整化技術 能量的
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07/21 10:19, 3年前 , 64F
差卻是可以處理的 而這才是可觀測的物理量
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07/21 10:23, 3年前 , 65F
謝謝大大耐心的解釋，我好像瞭解那麼一些些了
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07/21 12:14, 3年前 , 66F
感謝分享
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07/21 12:23, 3年前 , 67F
嚴格來說 這也不能叫重整化 但基本精神是一樣的
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