Re: [問題] 離散過程的動力系統分析方法
※ 引述《wehavelee (我們有李但你沒有)》之銘言：
: 研究中遇到
: 【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)
: 有一個有很多粒子的系統，有三個特性，線性位能、正比於速度的阻尼和隨機漫步，隨
: 機漫步基本上是高斯分布的，系統是一維的，所以每一個step可以表示成
: x_n = x_n-1 + a * p_n-1
: 動量項
: p_n = p_n-1 + b * x_n + c * p_n-1 + d * random(Gaussian_distribution)
: 位能項 阻尼項 隨機漫步項
我不會把你這個「位能項」叫做線性位能，甚至不覺得它看起來像位能。
確認一下這項真的不是 b(x_n - x_{n-1}) 嗎？
假設你方程式沒寫錯，名詞你愛叫什麼我管不著，那麼先忽略掉兩個隨機雜訊，
就可以寫成：
[ x_n ] [ 1 a ] [ x_{n-1} ] ... (*)
[ ] = [ ] [ ]
[ p_n ] [ b (1+ab+c) ] [ p_{n-1} ]
本來那個 p_n 方程式右邊的 b x_n 項可以用 x_n 方程式代換掉。
假設你的參數 a, b, c 不是太麻煩的東西，有矩陣卻不對角化是對不起你的線代老師。
假設 M 可以拿來對角化這個矩陣：
M [ 1 a ] M^{-1} = [ k1 0 ]
[ ] [ ]
[ b (1+ab+c) ] [ 0 k2 ]
然後設
M [ x_{n} ] = [ s_{n} ]
[ ] [ ]
[ p_{n} ] [ t_{n} ]
現在可以把雜訊加回去了。令 G_{n} 為你的 Gaussian 雜訊，L_{n} 為
non-Gaussian 那個，就是在 (*) 的右邊加上
[ G_{n} ]
[ ]
[ L_{n} ]
對角化矩陣的時候就順手一起把這邊一起轉換掉：
M [ G_{n} ] = [ m11 G_{n} + m12 L_{n} ] = [ F_{n} ]
[ ] [ ] [ ]
[ L_{n} ] [ m21 G_{n} + m22 L_{n} ] [ J_{n} ]
然後得到兩條獨立的方程式
s_{n} = k1 s_{n-1} + F_{n}
t_{n} = k2 t_{n-1} + J_{n}
方程式解為
s_N = (k1)^N s_0 + \sum_{n = 1}^{N} [ (k1)^n F_{N-n} ]
t 也一樣。
s_N 和 t_N 的統計分佈來自後面那 N-1 個隨機變數的和。
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