Re: [問題] 一題高中物理
長繩局部一小段的動能是(1/2)λΔx (∂y/∂t)^2
其中λ為線密度, y(x,t)為質點振福
局部一小段的位能則是TΔs,T為張力,Δs為繩伸長量
TΔs又可表示成(1/2)T(∂y/∂x)^2Δx
所以(1/2)λΔx (∂y/∂t)^2 + (1/2)T(∂y/∂x)^2Δx
就是長繩局部一小段Δx攜帶的總能
會因為局部一小段左右兩端點的張力作功 而使得能量進入又離開
張力做功的功率就是 T(∂y/∂x)(∂y/∂t)
兩端點各自功率的和 即為單位時間內進出那一小段的總能
另外若y(x,t)可表示為f(x-vt) , v為波速√(T/λ)
則 ∂y/∂t = -v (∂y/∂x)
由以上條件即可求出題目答案
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Δs=√[(Δx)^2+(Δy)^2]-Δx ~ { √[1+(∂y/∂x)^2] -1}Δx
(繩波會用到∂y/∂x很小的條件) ~ { [1+(1/2)(∂y/∂x)^2] -1}Δx
= (1/2)(∂y/∂x)^2Δx
2 2 2 2
功率一般化的推導可從波動方程式出發:λ ∂y/∂t = T ∂y/∂x
(可從質點之間以輕繩相連的模型,
加上∂y/∂x=tanθ~ θ ~sin θ
的近似推出方程)
方程左右同乘∂y/∂t,並作一番整理可得:
∂E/∂t = T(∂y/∂x)(∂y/∂t)| + [- T(∂y/∂x)(∂y/∂t)| ]
x=x2 x=x1
(負號因兩端點張力方向相反)
x2
其中 E = ∫ [(1/2)λ(∂y/∂t)^2 + (1/2)T(∂y/∂x)^2] dx
x1
直觀解釋可畫出質點+輕繩做分析 (應用tanθ~ θ ~sin θ)
T(∂y/∂x)(∂y/∂t)就是 張力和(位移)速度兩個向量的內積
※ 編輯: kuromu (36.236.242.84), 07/24/2018 22:37:56
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討論串 (同標題文章)
