[問題] 虛功原理為靜力平衡的充要條件

看板Physics作者 (雜雜)時間9年前 (2017/02/22 12:00), 8年前編輯推噓5(5推 0噓 98→)
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1.虛功原理闡明，若系統的虛功和為零，那該系統則處於靜力平衡，但質點的等速率圓周並非靜力平衡，然而虛功卻為零? 2.請問有辦法從牛頓力學(每個質點所受的外力皆為零)與變分法的技巧導出虛功原理嗎? 也就是當質點的虛功為零時，必然為靜力平衡。 (小弟也很好奇虛功原理這個原理是怎麼被想出來的) 在沒有約束時，很容易確定兩者等價，亦即F_x=F_y=F_z=0 但在有約束時，特別是非定常約束， (https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1)，虛位移並不會是實位移，又怎麼確定兩者等價? 所以小弟猜想，應該能藉由數學，從牛頓力學導出虛功原理，再依樣畫葫蘆的得到達朗貝爾原理，不知這樣是否可行? ----- Sent from JPTT on my Samsung SM-J710GN. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.12.228.151 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1487736010.A.C13.html
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%B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1
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連結好像有問題，在這裡補上
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第一個問題 那是外部限制下的假設 因為半徑=定值
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把圓周運動約束條件帶入，得到要達到虛功原理的條件是F_theta*r=0 r是非零常數，所以要求F_theta=0，然而等速率圓周運動也符合這個條件阿
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且你不能只看徑向或切向
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※ 編輯: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 10:08:58
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圓周運動哪來的約束條件
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如果你是說角動量守恆，那可是系統本身的運動方程式
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你拿那個來當約束，就等於你把徑向的運動獨立出來當成一個
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等效一維系統
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半徑不變的時候，這個等效系統處於等效的靜力平衡沒錯
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但不代表底下的整個二維運動有靜力平衡這種事
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滿足虛功原理，不就是達到靜力平衡嗎？ 而我設約束條件再圓上，卻能得到在整個二維平面上不為靜力平衡的的運動，那滿足虛功原理他所代表的物理意義是什麼？ ※ 編輯: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 12:32:14
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再強調一次，二維的圓周運動沒有約束。
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你在做的是：
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1. 寫下一個一維模型
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2. 給定角動量 L，確認這個一維模型的運動方程式剛好跟二維
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圓周運動的徑向一樣
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3. 於是半徑不變的二維圓周運動可以用一維等效模型的靜力平
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衡來描述
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請注意二維那一邊，從開始到結束我們都沒有用到虛功，當然
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也說不上靜力平衡
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然後等下，你的所謂「約束條件」到底是角動量守恆還是直接
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把軌道釘死在正圓型？
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每次連結都沒貼成QAQ 要整串複製才行，抱歉麻煩了Orz 連結是約束的定義，所以我給的自然是定在正圓上，而不是要求角動量守恆 ※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:05:35 ※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:07:20
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約束條件下的約束力作所的功=0是理論假設 虛功原理指的是
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可是這裡的約束力就是向心力，他的虛功確實為零呀
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外力
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※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 15:03:35
推
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可是你不准半徑改變怎麼能說向心力的虛功？
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推
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如果你要把向心力當成虛功的外力，那就得一起考慮徑向位移
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虛功就不是零
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向心F的方向會隨時間而變 不是靜態系統
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牛頓力學是向量力學，變分法極值的虛功定理是純量力學
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這是兩種不同的數學model去描述物理系統後的等價結果
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虛功、lagrange、hamiltonian都是用純量的數學系統
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算出來的大部分都是微方結果，叫eq. of motion
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還有 34 則推文
還有 3 段內文
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喔我原本的問題是出在，在有約束時虛位移不是完全任意的，
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那怎麼確定從達朗貝爾解出來的解必定等價於牛二。
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不過後來我是這麼解釋的，
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引入虛位移的一大目的：
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只討論約束面上的運動方程。
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比如說約束在xy平面上，那這樣帶入達朗貝爾原理後，得到的
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方程式並不要求F-ma_z=0，但那也不是我們感興趣的事，我們
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只要討論他在約束面上的運動就好了。
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另一個就是可以把約束力消除。
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而虛功原理就是只討論約束面上的靜力為零，但對於垂直約束
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面的力我們不感興趣，故我第一個問題時能行等速率圓周運動
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的。
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接著只要在引入廣義座標後就能導處拉格朗日方程式了，只是
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廣義座標中的獨立座標雖然滿直觀的，但他在數學上應該也有
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他嚴謹的定義吧，不過這個似乎就有點棘手了，小弟對嚴謹的
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數學也不甚感興趣，所以就想到這裡吧XD
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再次感謝大大的回應！謝謝！
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不客氣~
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你的解釋沒錯，達朗貝爾之解當然要回頭再加上原本的
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約束條件之後才是完整的解，一開始避免用到"約束力實
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際長怎樣"而只知道"約束條件"就能解問題就是它的意義
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。至於廣義座標，你能直觀理解當然是最好，確實還沒
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有必要去碰"微分流形"之類比較抽象的數學。
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喔對了可以另外問個問題嗎XD 為什麼虛位移的始末兩端為零阿？ 還是只是這樣定義讓他可以簡化成我們現在看到的哈密頓原理？ (這也是為什麼我一開始覺得要用變分法的原因) ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 00:41:15
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虛位移不牽涉時間，所以應該也沒有"始末"？在討論哈
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密頓原理原理的時候應該才會有端點固定的問題？
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就是如果哈密頓原理從t1積到t2，那麼則： δr1δr20 換做廣義座標的話 δq_α1δq_α20 即所謂始末為零，這點小弟不是很能理解，還是就是定義而已(？) 啊啊啊啊我在問下去會越問越遠阿XD ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 10:32:05
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簡單的答案是：沒有為什麼，因為這樣才能跑出正確的
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運動方程。
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你實際在對作用量變分的時候，會跑出兩個與端點(始末
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)有關的boundary terms，若沒有這個要求就無法幹掉他
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們，也就無法跑出Euler-Lagrange eqn。
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有沒有更深的理由？我不敢說。
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你現在是在自學大學物理？那就多問，我想許多人包括
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我都很樂意回答。
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我會有疑惑是因為在一開始引進虛位移得到達朗貝爾原理時，並沒有對他做這個要求也可以得到拉格朗日方程。 但由達朗貝爾原理導到哈密頓原理時，若不把那項積分項殺掉(始末變分為零)，就不能得到與拉格朗日方程等價的哈密頓原理了。 小弟目前說服自己的方式是，始末兩端的位置是固定的，故不能在此刻加上虛位移，那是沒有意義的。 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 20:41:59
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虛位移只是在某個時間點上作變化，變分是一段時間區
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間上的每點都做變化，所以前者根本沒有端點處固定的
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問題，後者有一段時間，才能談論開始和結束兩個時間
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點處的變分是否要是零。
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