Re: [問題] 大一普物，關於萬有引力
※ 引述《hsz0566 (HSZ)》之銘言：
: 在友人臉書看到的大一普物問題：
: 物體 A、B 靜止於直線，各距離原點 R、-R ，質量均為 m ，因萬有引力而相吸，求物體
: A 經過時間 t 的 v(t) 之方程式。
這問題好像超過大一課程了 因為都要解DE
大一大概只能有能力解一階DE
假設系統如下
r=R r=0
●-->F ----原點
因為 a=dv/dt 且v=dr/dt 故dt=dv/a=dr/v ==> adr=vdv 這是大二運動學的東西
由於F=Gm^2/r^2=ma 可得a(r)=Gm/r^2
r v
故∫adr = ∫ vdv v=√{2gm( 1/R - 1/r)}
r=R v=0(靜止)
又因為v=dr/dt dt=dr/v (PS. 因為要求得r-t關係 故要用此關係式找出r(t)
這裡是關鍵)
r t r √R r r r
∫ 1/v dr = ∫dt = ∫ ------√(----) dr = t =√(R/2Gm)∫√(---) dr
r=R t=0 R √(2Gm) r-R R r-R
後項積分很不好積分 通常要查表或給電腦算
如果要硬算 令u=√(r-R) du=dr/(2√(r-R)) u^2+R=r
則積分式變為
u (查表) u
∫2√(u^2+R)du = u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)}|
0 0
= u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)} - {Rln√R}
故此時可整理出 t*√(2Gm/R) = √(r^2-rR) + Rln{√(r-R)+√r - Rln√R
上面已知r-t關係式
最後所求v=dr/dt 整理一下 很醜就是了
(另解)
由F=ma=Gm^2/r^2=r'' 可得高階非線性非齊性ODE
r^2*r''=Gm I.C. r(0)=R r'(0)=0
這種非線性ODE通常都很難解 一般就是用特殊方式求近似解/數值解等等
這東西丟入電腦跑一下
((Gm Log[-2 Gm + 2 C[1] r[t] +
2 Sqrt[C[1]] Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t]])/C[1]^(3/2) + (
Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t])/C[1])^2 == (t + C[2])^2
由I.C.可解C[1],C[2]兩常數
再由r(t)解出r'(t)
*(法三)
上面的東西 關鍵步驟直接泰勒展開來作
我脫離這東西有點久了 僅供參考有錯請指正
: 我的想法是：
: 速度可以從加速度對時間積分求得
: v(t) = ∫a(t)dt......(1)
: 而根據牛頓第二運動定律
: a(t) = F(t) / m......(2)
: 假設A的位置函數是x(t),
: AB間距就是 2*x(t)
: 還有位移速度加速度之間的關係是
: v(t) = x'(t)
: a(t) = v'(t) = x"(t)
: 根據萬有引力定律
: F(t) = - (G*m*m) / [(2*x(t))^2]......(3)
: 把(3)代入(2)再代入(1)
: v(t) = -0.25*G*m* ∫[1/(x(t))^2]dt
: 然後有兩個初始條件@t = 0
: x(0) = R
: v(0) = 0
: 這樣列式不曉得正不正確 @@
: 另外，也可以從能量觀點：
: 假設A在時間t的位置是 x(t)
: 時間t0的重力位能 - 時間t的重力位能 = 時間t的A動能 + 時間t的B動能
: -G*m*m/2R - [-G*m*m/(2*x(t))] = m*[v(t)]^2
: v(t) = sqrt{0.5*G*m*[(1/x(t)) - (1/R)]}
: 不是積分(第一種算法)就是根號，看起來都很麻煩...orz
: 學長說：
: 亦可以用 dimension analysis : 假設此質量有一特徵長度 X 及特徵時間 T
: 重力表現應是反比於 X^2
: 而加速度應是 X/T^2
: 兩者應是同樣的dimension，所以1/X^2 ~ X/T^2
: 所以X ~ T^(2/3) ，因此可假設 x(t) =C1 t^(2/3) + C2
: 代入初始條件解出 C1 & C2
: 但假設x(t) = c1*t^(2/3) + c2的話
: x(0) = R 得 c2 = R
: 不過 x'(0) = 0 就算不出c1了
: 然後估狗到台大普物李文忠出過類似的考題...
: 但只有題目 = =
: https://www.ptt.cc/bbs/NTU-Exam/M.1294993644.A.500.html
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推
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