Re: [閒聊] 從泛函觀點來看電磁學

看板Physics作者linkismet (linkismet)時間8年前 (2016/02/14 19:57)推噓1(1推 0噓 7→)

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※ 引述《rareone (拍玄)》之銘言： : 最近在看griffiths的電磁學 : 裡面提到變分法 : 有時一個泛函可以改寫為微分方程式 : 我想知道這樣的方式有什麼優缺點 : 以及利用泛函觀察向量場還有什麼有趣、值得研究的地方 : 函數空間有什麼特色 : 有沒有相關的推薦書籍 : 感謝只能說一下對泛函的認識，可能可以回答你的部分問題，結論很短在最後。 ------------------------------------------------------------------------------ 先逐步思考極值問題 1.有一條繩索長度固定L，圍成一個矩形，要如何圍才能使繩索圍住的面積最大? 2.有一條繩索長度固定L，在河邊圍三邊圍成一個矩形，請問要如何圍才能使圍住的面積最大? 3.有一固定長度線段l ，圍成一個封閉迴路，何種造型可以使內部面積最大 4.有一固定長度線段l ，和x軸圍成一個封閉迴路，何種造型可以使內部面積最大 ------------------------------------------------------------------------------ 之前兩個問題是給定一個方程求一個實數解後面則是給定一個積分方程其積分值不確定，但是積分值是一個極值，以此求一個函數，也就是從一個積分映射到一個函數 ---------------------------------------------------------------------------- 二維 x-y plane上的情況假設有一個連續可微分正定函數 y=y(x)=f(x) 處處行為良好，此函數通過x軸上兩點，欲使曲線下面積為極值，且函數在兩點間的曲線長度為定值L 求此函數也就是說 (a) integral (dl) = L where dl = sqrt(1+(y')^2) dx (b) integral(f(x)) =J , x form x_1 to x_2 where J is a extreme value use (a), (b) to find f(x) 這是一個求解f，有限制條件的積分方程(變分法) ** 但可以轉換為微分方程，而求得其解 ------------------------------------------------------------------------------ 三維的情況則是，有個行為良好的函數z(x,y) 在面積固定的情況下(面積分為定值) 使體積為極值(體積分為極值) 你會得到一個兩變數的積分方程(變分法) ** 數學上可以轉換為偏微分方程->邊界值問題 ** 從二維到三維問題時，會再需要多一些條件才能確定z(x,y) cf: 單變數微積分: 解高階微分方程式時會多一些待定積分常數,多變數麻煩一點, plz review calculus -------------------------------------- higher dimension : .. and so on.. ------------------------------------------------------------------------------ *物理不管E是不是處處可微，well defined or not, 先解出一些和實驗比對是否吻合，那些 restriction 通常事後在補。回到電磁學，E, B可寫為 x,y,z, t 的函數，vector field E=(x,y,z, t) or E=(r, t) 你知道 Maxwell's eq. set 常寫為 differentail form, 但也都可以寫成 integral form, 當需要解一些極值，限制，固定源等問題時，泛函分析，變分法就可能提供一個切入點和看問題的觀點，也就是說，某些問題可能可轉成泛函分析，微分方程，得到了解，反之亦然，某些問題可能可以給泛函，微分方程一些hint。當然泛函分析現在數學家已經走的很遠很遠了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.235.142.18 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1455451039.A.2B9.html ※ 編輯: linkismet (36.235.142.18), 02/14/2016 19:58:01

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kentano

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推

heimaykiwi

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heimaykiwi

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