Re: [問題] 牛頓第二定律～2005奧林匹亞初試
※ 引述《BabyFeeling (睡神)》之銘言：
: 假設汽車的車身結構均勻 , 在碰撞過程中 , 車子可視為被均勻擠壓 ,
這是題目對碰撞的dynamics所有的描述。
令 s 為車身位置的參數： 車頭 s = 0 ---> s = 1 車尾 這樣子
車身各點速度不同是造成擠壓的原因。
令 v(s, t) 為車身位置 s 在時間 t 的瞬間速度， t = 0 是撞車時間。
題目要求均勻擠壓，所以固定時間 t > 0， v(s, t) 對 s 的圖形必須是直線，
並且滿足 v(0 , t) = 0，車頭撞下去就不能動了。
==> v(s, t) = v(1, t) * s
撞車之前整輛車子都在等速運動 v(s, t < 0) = v_0 。
所以在撞車的瞬間牆壁必須給車子一個大大的衝擊，瞬間拿掉一大塊動量：
impact = (m/2) [ 2 v(s=1, t=0-) - v(s=1, t=0+) ]
第一個不足的條件出現在這裡： v(s=1, t=0+)
用白話來說就是，車頭剛撞上去那一刻，車尾的速度是什麼？
當然，假設車尾仍然維持初速 v_0 好像很自然，但是別忘了牆壁剛剛給了整車
一個瞬間衝擊， v(s, t) 這個函數在 t = 0 前後幾乎到處都不連續，我實在想
不到它有什麼在 s = 1 這點非要連續的理由。
但是我知道大家的直覺都想把 v(1, 0+) 釘在 v_0 上。那就暫且當成車尾維持
初速吧。
然後，因為有這個該死的衝擊，我們不能用什麼kinematic的方法取巧去直接算
撞擊過程中的外力平均，而非要把整個撞擊過程的耗時算出來才行。
我們知道在車子撞爛的過程中：
1. v(s, t) = s * v(1, t)
2. 車尾 s = 1 的總位移是給定的，叫它 D 吧
3. 因為均勻壓縮，車子中間一點 s 的位移必須是 sD
假設從車頭撞上到車子停止的總時間是 T，則
T
∫ v(s, t) dt = s D
0+
T
<==> ∫ v(1, t) dt = D
0+
最多我們就再要求 v(1, t) 遞減吧，車子撞了照常識來說只能減速。
所以對 T 我們只能給出下限： T > D / v_0
最後用動量守恆：
F_avg = m v_0 / T < m (v_0)^2 / D
所以這是個壞掉的題目。
出題者大概跟我一開始想的一樣，以為均勻擠壓在某種意義上代表均勻外力，
然後平均位移 D/2 乘上外力等於損失的動能，這樣算出來的確差不多是2.8。
但是...牆壁根本沒做功啊！車頭撞上去以後就沒有位移了！把動能吃掉的是
車體自己的損耗，拿來計算外力是錯的。
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「在碰撞過程中車子可視為均勻擠壓。」題目寫死了。
而且，我最後一段的重點就是外力沒有作功。你要套功能定理也不能隨便拿兩個
根本無關的力和位移乘在一起說那是功。
在撞車過程中做負功吃掉動能的是車身裡面的各種內力。平常在這個層次的題目
我們處理的都是剛體、理想彈簧、理想繩索...所以內力經常會等於外力。但「內
力等於外力」本身可不是物理定律啊！
給你另一個真的可以把碰撞的dynamics整個算出來的例子：假設撞牆的是一個彈
簧，碰撞過程沒有能量損耗，彈簧受均勻壓縮。
「動能/平均位移」算出來的答案，跟真正的答案差了 2/pi。
如果題目問的是「估計平均外力」，那麼用dimensional analysis拼湊出
「動能/平均位移」是個好回答。
但是看問題的問法，顯然出題老師認為他已經給出足夠的資訊，讓答題者不需引
進額外重大假設就可以算出唯一解。從這個角度看，「動能/平均位移」是根本
不符合古典力學的錯誤結論。
※ 編輯: wohtp (123.110.251.43), 11/21/2015 17:00:03
※ 編輯: wohtp (123.110.251.43), 11/21/2015 17:46:27
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完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：