[問題] a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt)

看板Physics作者 (悟道修行者)時間11年前 (2013/01/10 19:30), 編輯推噓9(9推 0噓 30→)
留言39則, 12人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
運動學中： 定義x'(t)=v(t), v'(t)=a(t) 有不少人說：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是對的， 還藉此推導了一些公式來解題目， 我懷疑這是錯的。來這邊問問大家。 對照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax, df(g(x)) df(y) | dg(x) --------- = ------ | * ------- dx dy | y=g(x) dx (註：stewart, larson, varberg 等傢伙的微積分書的 chain rule 都沒有 | |y=g(x) 的寫法，而都是直接寫 df(g(x))/dx = (dy/du) * (du/dx)， 對不起，我必須說他們全都寫錯了 :)。 如果你是老師，記得講課時幫學生更正一下。 ) 話拉回來， chain rule 要能成立，可是有前提的。 對整個被微分對象而言， 1. 他必須是兩個函數所合成的合成函數f(g(x))， 等號右側可寫成二項相乘： 一項是 ── 外面的函數f以y表示時(即f(y))，對y微分的結果 或者說：f(y)對y微分，得到的導函數再將y=g(x)代入 或者說：說 f(g(x)) 對 g(x) 微分 注意，不能說f(x)對g(x)微分，那差太遠了 另一項是 ── 裡面的函數g(x)對x微分。 總之，這要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt) (以下我先假設他是對的，用反諷的手法推論下去，得到不對或矛盾的結果， 而知假設錯誤，得到 a= (dv/dx) * (dx/dt) 為錯 ) 根據上面 chain rule 樣貌，a 應等於 dv(x(t)) ---------- dt 這樣就是說， v(x(t)) 微分恆為 a(t) 囉！？ 又同樣邏輯， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt， 兩個函數的導函數一樣，不知道有沒有兩個函數必相等的 theorem， 如果有， v(t) 就是 v(x(t)) 了！也太不可思議。 網路上不少人以之為對（他們給不出證明），我有點保留。 請大家來討論看看。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.8.27 ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 19:44)
推
01/10 19:44, , 1F
你說的v(x(t))，我覺得時間夠短就可以，因為v=v(t),x=x(t)
01/10 19:44, 1F
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01/10 19:44, , 2F
k大，剛有點打錯，有改一下字
01/10 19:44, 2F
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 19:45)
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01/10 19:45, , 3F
反函數定理告訴我們，只要x'(t)不為0，就存在小區間t=g(x)
01/10 19:45, 3F
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 19:55)
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01/10 20:07, , 4F
完全不懂，煩請kenny大詳加解釋，thanks
01/10 20:07, 4F
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01/10 20:22, , 5F
我覺得沒差，反正不是偏微分而是全微分
01/10 20:22, 5F
推 ntust661:不懂問題點@@ 見新增的()處
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01/10 21:08, , 6F
不懂為何不懂，我已經盡力寫得很清楚了
01/10 21:08, 6F
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 21:11)
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01/10 21:50, , 7F
因為點在於x(t)跟t(x)是不是可以互解，這件事情的條件由
01/10 21:50, 7F
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01/10 21:50, , 8F
反函數定理給出。
01/10 21:50, 8F
我好像沒學過這個耶，這是高等微積分的東西嗎？ ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 22:01)
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01/10 22:03, , 9F
那閣下的意思是那式子是對的囉？那我的推論那個地方
01/10 22:03, 9F
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01/10 22:04, , 10F
開始有了錯誤？
01/10 22:04, 10F
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01/10 22:14, , 11F
反函數定理微積分有，我覺得只是選用符號的問題。
01/10 22:14, 11F
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01/10 22:16, , 12F
v=f(x)的例子: 一物體初速0受加速a往x方向，v=(2ax)^0.5
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01/10 22:17, , 13F
思考別僵化了...
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01/10 22:20, , 14F
有些數學老師在處理合成函數f(x(t))
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01/10 22:21, , 15F
會引入新符號f(x(t))=g(t)因為他們覺得畢竟以t表示跟x表
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01/10 22:22, , 16F
函數形式不同，只是物理書通常不引入。原po會覺得怪應該
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01/10 22:22, , 17F
是這點？
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01/10 22:59, , 18F
那個式子在嚴格的數學表示裡的確是不合格的，但算不上錯
01/10 22:59, 18F
推
01/10 23:11, , 19F
不太懂為什麼V(t)不等於V(x(t))耶
01/10 23:11, 19F
推
01/10 23:18, , 20F
只要x和t互為函數(反函數)不就沒差,不走到同一個地點就ok
01/10 23:18, 20F
感謝大家回答 :) 我決定把高微拿來啃，啃完有問題再來問大家 :p~~ ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.8.27 (01/10 23:28)
推
01/10 23:50, , 21F
asp的問題，如果引入一個~或是什麼'之類的符號，代表差
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01/10 23:50, , 22F
異應該就可以知道原po的問題在哪裡了。
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01/10 23:51, , 23F
V(t)=V'(x(t))，這邊的'只是代表不同而已，也就是說函
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01/10 23:52, , 24F
數的長相不同，舉例來說，如果已知x=at^2/2，那麼
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01/10 23:52, , 25F
V(t) = at，而V'(x) = √(2ax)，你可以觀察到，
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01/10 23:53, , 26F
V(s) = as，而 V'(s) = √(2as)，其中s只是一個參數。
01/10 23:53, 26F
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01/10 23:54, , 27F
他們的形式長的不一樣。原po的問題，其實那些書是沒有
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01/10 23:54, , 28F
錯的，只是他們省略了那個|，因為當你的數學越用越複雜
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01/10 23:55, , 29F
而這個符號又不會造成太大的ambiguity時，就會這樣簡記
01/10 23:55, 29F
推
01/10 23:59, , 30F
講什麼= =?
01/10 23:59, 30F
推
01/11 00:18, , 31F
有點複雜! 應該說只要有辦法寫成V(X(t))和V(t) 就沒問題
01/11 00:18, 31F
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01/11 00:19, , 32F
代表已經滿足函數的定義
01/11 00:19, 32F
推
01/11 02:12, , 33F
有神快拜XD
01/11 02:12, 33F
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01/11 03:06, , 34F
什麼鬼 懷疑書本有錯很好 但也不要理所當然認為自己是對
01/11 03:06, 34F
推
01/11 14:25, , 35F
推herbert大，這完全是因為想一直用v代表「速度」
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01/11 14:26, , 36F
不想換符號（事實上換符號會給自己找麻煩）而造成的。
01/11 14:26, 36F
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01/11 14:40, , 37F
關於這點，想找例子可以去看熱力學變數...如果要換函數...
01/11 14:40, 37F
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01/11 14:40, , 38F
不要問，很可怕，上次有個人換了，結果...
01/11 14:40, 38F
推
01/11 18:04, , 39F
符號使用問題...
01/11 18:04, 39F
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文章代碼(AID): #1GxgPmaZ (Physics)
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