[問題] (a)gradient(b)向量表示式

看板Physics作者 (小明)時間13年前 (2012/10/22 15:27), 編輯推噓18(19推 1噓 24→)
留言44則, 10人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
如題 a=a(x,y,z) b=b(x,y,z) a,b皆為不為零的純量 有辦法證明，任何一個向量 V(x,y,z) 能表示成 a▽b　嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.161.145
推
10/22 15:49, , 1F
當然是不一定所有V都可以成立
10/22 15:49, 1F
推
10/22 16:45, , 2F
直覺上不行，因為V(x,y,z)實際有V1(x,y,z), V2(x,y,z),
10/22 16:45, 2F
→
10/22 16:46, , 3F
V3(x,y,z)，在三維的情況，所以自由度有三個function
10/22 16:46, 3F
→
10/22 16:46, , 4F
維
10/22 16:46, 4F
→
10/22 16:46, , 5F
而a和b只有兩維的function space，所以不行
10/22 16:46, 5F
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10/22 16:47, , 6F
進一步的證明等待高明@@
10/22 16:47, 6F
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10/22 16:55, , 7F
可是 ▽b 也有三個維度
10/22 16:55, 7F
推
10/22 17:00, , 8F
假設 V/a = ▽b 就變成老問題了，不是所有的向量場都
10/22 17:00, 8F
→
10/22 17:01, , 9F
可以寫成對應的某個純量場的梯度。
10/22 17:01, 9F
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10/22 17:02, , 10F
V/a (或說V)是非保守場的話就沒有對應的b
10/22 17:02, 10F
推
10/22 17:11, , 11F
但是這樣還沒有解決喔。因為你的a是自由的
10/22 17:11, 11F
→
10/22 17:12, , 12F
這樣問題就變成 for all vector field V, can you
10/22 17:12, 12F
→
10/22 17:12, , 13F
choose a scalar field a such that V/a is curl-less.
10/22 17:12, 13F
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10/22 17:13, , 14F
如果不存在這樣的a，那麼才可以disprove
10/22 17:13, 14F
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10/22 17:19, , 16F
呃....所以一定找的到這樣的a(x,y,z)嗎....
10/22 17:19, 16F
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10/22 17:20, , 17F
Let φ= -b，F = V/a
10/22 17:20, 17F
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10/22 17:21, , 18F
Helmholtz也是有條件的吧? 好像必須要是收斂的場
10/22 17:21, 18F
→
10/22 17:22, , 19F
而且從Helmholtz不知道怎麼證明過來
10/22 17:22, 19F
推
10/22 17:25, , 20F
可以請Frobenius再講清楚一點嗎？因為這樣還是沒有證完
10/22 17:25, 20F
推
10/22 17:26, , 21F
成立的條件前提必須是 ▽a．(▽× A) = 0
10/22 17:26, 21F
→
10/22 17:26, , 22F
邏輯上現在的步驟是到了假設a,b存在，然後要找矛盾。
10/22 17:26, 22F
推
10/22 17:29, , 23F
回7樓wei，▽b實際上只有一維function space
10/22 17:29, 23F
→
10/22 17:29, , 24F
就是b(x,y,z)
10/22 17:29, 24F
→
10/22 17:38, , 25F
大概懂你的意思了
10/22 17:38, 25F
推
10/22 18:05, , 26F
應該要這樣令 F - ▽ × A = - ▽φ = V/a = ▽b
10/22 18:05, 26F
推
10/22 18:12, , 27F
換句話說任意向量可表示成 V = a▽b + a ▽ × A
10/22 18:12, 27F
推
10/22 18:13, , 28F
yes...但還缺一個反例，說把curlA那項drop掉會造成矛盾
10/22 18:13, 28F
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10/22 18:14, , 29F
當 A 可表示成純函數取梯度時，V = a▽b
10/22 18:14, 29F
噓
10/22 18:23, , 30F
電動作業自己寫好嗎 還上來問..... 星期三要交的東西
10/22 18:23, 30F
→
10/22 18:24, , 31F
你現在才想著要處理??
10/22 18:24, 31F
推
10/22 18:35, , 32F
我幫樓上補推
10/22 18:35, 32F
推
10/22 18:44, , 33F
樓上上...不會寫就問人沒錯吧...搞不好wei只剩這題想不出來
10/22 18:44, 33F
推
10/22 18:53, , 34F
看起來跟Green theorem證明有關，不過原po的問題還真的沒想
10/22 18:53, 34F
→
10/22 18:54, , 35F
過，以前學電動力學就是記一堆公式，沒有消化
10/22 18:54, 35F
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10/22 19:08, , 36F
chris會的話拜託教一下 真的想不出來
10/22 19:08, 36F
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10/22 19:12, , 37F
我可以給你助教手機~
10/22 19:12, 37F
推
10/23 15:41, , 38F
樓上拜託給我
10/23 15:41, 38F
推
10/23 22:36, , 39F
樓上你要我們助教手機幹嘛= =
10/23 22:36, 39F
推
10/23 23:10, , 40F
你們所謂的助教應該是許XX學生吧，他剛剛跟我說google一人
10/23 23:10, 40F
→
10/23 23:10, , 41F
Clebsch。
10/23 23:10, 41F
推
10/24 00:39, , 42F
是有聽說老師有說這個證明很有名 但是還是想自己想出來
10/24 00:39, 42F
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10/24 00:40, , 43F
想不出來就算了
10/24 00:40, 43F
推
10/24 12:33, , 44F
不懂 想不出來 來物理版請教 有什麼好噓的?
10/24 12:33, 44F
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