Re: [問題] 請問如何從萬有引力推出行星的運動呢?
※ 引述《Thomaser (長恨歌不錯聽啊)》之銘言：
: 所以若一個行星受重力繞恆星運動的話，怎麼推導，可以算出像運動方程式、週期等
: 等其他值呢?
現在要處理的系統處在慣性座標中，質量M的恆星和質量m的行星(two-body problem)。
已知從恆星到行星的距離向量為 r ，
~ .. μ
根據萬有引力，可以推出兩物相對運動的運動方程式：r = - ----- r (證明省略)
~ r^3 ~
這邊的μ≡G(M+m)≒GM (因為 M >> m ，所以 m 可以被省略) 。
.
又對行星而言，其角動量 h = r ×r = costant vector (角動量守恆)
~ ~ ~
以下為推導：
.. μ μ .
r ×h = --- ( h ×r ) = --- [ ( r ×r ) ×r ]
~ ~ r^3 ~ ~ r^3 ~ ~ ~
μ . .
= --- [ r ( r．r ) - r ( r．r ) ]
r^3 ~ ~ ~ ~ ~ ~
μ . .
= --- [ (r^2)r - (rr)r ]
r^3 ~ ~
.
μ . μr
= (--)r - (---)r
r ~ r^2 ~
上式可改寫成
r
d . d ~
-- ( r ×h ) = μ -- ( -- )
dt ~ ~ dt r
將上式積分
r
. ~
r ×h = μ ( -- ) + C , where C is a constant vector.
~ ~ r ~ ~
用r去跟上式做內積
~
r
. ~
r．r ×h = r．μ ( -- ) + r．C
~ ~ ~ ~ r ~ ~
＝＞ h^2 = μr + rC(cosν) , where ν is the angle between C and r .
~ ~
[ (h^2) / μ ]
＝＞ r = ---------------
1 + (C/μ)cosν
跟(在極座標下的)圓錐曲線通式作對照
p
r = --------------
1 + e(cosν)
, where p is a constant of the conic called the "semi-latus rectum",
and the constant e is called "eccentricity"(離心率).
以恆星為焦點(focus)，則行星軌道可由 e 值決定
e = 0 , 一個圓軌道
e < 1 , 一個橢圓軌道
e = 1 , 一個拋物線軌道
e > 1 , 一支雙曲線軌道
小結：
由萬有引力和數學知識，
可以導出行星繞恆星的軌道，為四種圓錐曲線的其中一種，
再配合觀測得知，行星軌道為橢圓(Kepler's 1st law)。
心情：
有寫錯的地方，希望各位大大指正。
還有如果要導出能量或週期之類的，煩請各位大大補充。
小弟要去睡了，晚安。
參考資料：
1.Fundamentals of astrodynamics (1971) , p.11 ~ p.23
Roger R. Bate,Donald D. Mueller,Jerry E.White
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當我認為自己什麼都懂時，他們給我學士學位。
當我發現自己其實什麼都不懂時，他們給我碩士學位。
當我發現原來他們也什麼都不懂時，他們給我博士學位。
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◆ From: 114.37.21.10
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06/12 09:03, , 2F
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06/12 17:03, , 6F
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