Re: [題目] 波茲曼定義的entropy問題
前面幾位的推文已經解釋了，我只是用比較淺顯的方法再描述一次：
就結論來說，你算的熵變化(2)式是正確的，(1)式是錯在組態的計數。
數學上，如果以你的前提 (系統能量能用任意整數單位分配到每個粒子)
那麼計算並沒有錯，可惜理想氣體不適用這個前提。
理想氣體在固定體積的立方體內達成平衡，有其微觀的物理基礎，
也就是系統的總能量，必須是薛丁格方程在三維無窮位能井裡面解出的能量
每個粒子的能量公式大約就是那個 E = C*[ (Nx)^2 + (Ny)^2 + (Nz)^2 ]* h
h 是 Plank constant，C 是常數，取決於系統溫度，粒子質量和系統尺寸等
Nx, Ny, Nz 必須是整數
所以並不是任意把能量用整數分配到每個粒子上面，就能滿足上述方程的解
舉例來說 (假設我恰好選對了單位能量) 系統有3個粒子，總能量為6單位
那麼 (Nx,Ny,Nz) = (1,1,2) 是一個符合量子力學的分配方法，總能量剛好也是6單位
反過來說，如果我想把6單位以 3:2:1 的方式分給三個粒子，
在你的假設是可行的，但是量子力學上不可行，因為(√3, √2, 1) 並不是方程的解
因此你可以體會如果要滿足量子力學，這個計數有多難搞 XDD
理想氣體 microcanonical 系綜的推導就是計算這個計數函數在n很大時的近似解
在 canonical 系綜的推導過程中也是要用量子力學為基礎，才能得到正確結果
(事實上，還需要把粒子視為不可分辨才能得到最後正確結果)
"正確"的過程你可以參考任何一本統計物理的書 :{
統計物理的特色之一就是，可選擇不同種微觀的模型(量子力學or你的模型)
都可以計算並預測不同微觀模型，在巨觀時的物理定律。
但是如果微觀模型跟事實物理相差太遠，推出來的巨觀物理量就會是"錯"的
(事實上，很少真實系統是可以exact計算Ω或partition function的
所以好的模型，珍貴在微觀上可以理想化的理解，巨觀上又能解釋實驗數據)
至於為什麼你在 (1) 算出來的熵變化會是 (2) 的兩倍？
這其實不是非常神奇...因為實際上不是剛好兩倍~~
使用用你的計數公式，你可以用 Stirling 近似展開 ln(Ω2/Ω1)
在你的例子中 Ne>>N，所以這展開整理後會近似到 (Ne2/Ne1) ln[(3N+Ne2)/(3N+Ne1)]
(希望我沒算錯)
因為你的例子，Ne2 = 2* Ne1，所以這項會近似於 2*ln2
(另一方面可以討論的是，物理上 Ne>>N 並不一定成立
可以用普蘭克常數估計 Ne 的數量級，和巨觀系統系下粒子N做比較)
*
最後嘴砲一下，如果你能從某個古典的微觀模型，
不用量子力學假設，只用統計物理就推導出跟巨觀理想氣體都一致的公式
那會是很有趣的主題...
這代表你找到了量子力學模型的某個古典極限，對於我們理解理想氣體也許很有幫助:P
--
這是你嗎 你要這樣的過嗎
這是你嗎 你錯過了自己吧
就這樣嗎 把你自己信仰 來換別人所謂的天堂
這是你嗎 是誰給了你框框
這是你嗎 把你自己都遺忘
你的心 畢竟是你自己的地方
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 98.221.193.148
※ 編輯: microball 來自: 98.221.193.148 (05/28 07:01)
→
05/28 07:40, , 1F
05/28 07:40, 1F
→
05/28 07:41, , 2F
05/28 07:41, 2F
→
05/28 08:29, , 3F
05/28 08:29, 3F
→
05/28 09:24, , 4F
05/28 09:24, 4F
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 1 之 2 篇)：