Re: [題目] 熱統有用到的一個式子
※ 引述《a01057327 (深海心情)》之銘言：
: [領域] 熱統 但應該是微積分的範圍 (題目相關領域)
: [來源] (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目] f(xy)=f(x)+f(y) 若x y都是獨立變數，則f(x)=C ln x ,C=const.
: [瓶頸] 我想要用偏微分來解這一題，可是我連偏微都偏不下去。簡單來說我不知道
: 我的方法對否，因為卡在第一步。 (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
不需用偏微分來看....
假設f是定義在正實數軸(去掉原點)的可微函數
f(xa)=f(x)+f(a) ----(1)
(注意到f(1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0 等等會當成初始值)
把a定為大於0的常數
對全式(1)做 x 微分
df(xa)
------- = f'(x)
dx
因為 a≠0 左式微分的值 其實就是
a*f'(ax)
取 x=1 得到f須滿足的微分方程
f'(a) = f'(1)/a
因此只要 f'(1) 決定了
由微分方程理論得知 方程有唯一解
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