Re: [問題] 請教 Green's Function 用在 PDE 的概念？

看板Physics作者Emcc (mass, momentum, energy)時間14年前 (2010/01/28 22:32)推噓6(6推 0噓 17→)

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: 解 PDE 除了 eigenfunction 的方法, 還可以用 Green's Function : 2 : ex. ▽ u = Q st. u = f (r) , δu/δn = g (r) ^^^^^^^^^ Poisson's eqn. 這個方程式除了你提的inhomogeneous 這項特性之外還有一個重點就是它是"線性"的 (linear) Poisson's eqn. 代表的物理意義就是一個有input/output的擴散系統 inhomogeneous term, Q(r) 就是系統外來的input 所要求解的u(r) 就是系統對這個input Q(r) 所產生的"響應"(response) 就我熟悉的熱傳學來舉例 Q(r)就是一個熱源, heat source u(r)就是物質因為熱源所形成的溫度場T Laplacian operator ▽^2 在物理上代表一個很重要的特性就是"擴散" 這家伙很有意思它喜歡"齊頭式的平等" 也就是你高它把你壓下來你矮它把你拉上去至於為什麼溫度場的擴散 ▽^2[u(r)] 會等於熱源Q(r) 中間那個"等號" 為何能成立? 那是因為物理性質的 "守恆定律" 以熱傳的例子來說這個方程式的意義為 "能量的守恆" 同樣的Poisson's eqn. 在電磁學裡 Q(r)為電荷密度 u(r)為 electric potential field 方程式代表 "電位的擴散" (電磁的部分小弟沒有很熟還請指正) 現在回到PDE的 Green's function解法如果今天對一物理系統施以一個"脈衝"(impulse input) 在一點r0 即 δ(r-r0) 則滿足Poisson's eqn.的系統對這個 impulse所產生的響應就是它的Green's function "系統對某一點 r0 的input 在另一點 r 所造成的響應" 為G(r,r0) r≠r0 滿足governing eqn. => ▽^2[G(r,r0)] = δ(r-r0) 重點來了如果impulse input不只發生在一點而是數個點那麼系統會如何響應? "因為Poisson's eqn.是線性的" 線性的好處是可以疊加(superposition) 所以對所有impulse input的點作疊加 ∫ [Q(r0)．δ(r-r0)] d(r0) = Q(r) 其響應為 ∫ [Q(r0)．G(r,r0)] dr0 = u(r) 當然 Poisson's eqn. 只是最基本的Green's function方法求解DE的例子其他還有更複雜的PDE或是ODE 但是Green's function的基本精神就是這樣 "線性所以可疊加" 另外有BC存在系統的響應也會受BC影響那就是你寫的後面那項了 : 解法就是視 nonhomogeneous term Q 與 boundary conditions 為許多離散點 : 而這些離散點影響著 u : 離散點（ Free Space Green's Function ）定義為： : 2 : ▽ G ( r,r0 ) = delta ( r-r0 ) : 使用 Green's second identity 可以導出 : u (r) = : δG δu : ∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) + ∫ [ u(r1)．——(r,r1) - G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1) : V S δn δn : source boundary conditions : 而且可求出 G(r) = -1/4π(r-r0), for r =/= r0 : ---------------------------------------------------------------------------- : 問題來了, 我們可以觀察出 u 受到 Q 和 BCs 兩者的影響 : 可是： : 2 : 1) 為何 ▽ G 會 model 成 delta function ,而非 ▽G 或 G : 有實際的物理系統可以輔助理解嗎？ : 可以解釋 G 和 Q 交互作用, u 和 G'作用, G 和 u'負作用, 三者合起來影響 u 嗎? : 2) G 如果是正比 (1/r), 用一維的例子來看, G' 長怎樣呢? : G''又會是delta function 嗎? 原點外的其他點的二階微分不是零啊? : 可以用一維空間舉個三者疊加成 u 的例子嗎? -- The World Series champions of 2006 is St.Louis Cardinals !!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.247.229

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kuromu

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cobeycobey

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