Re: [問題] 為何沒黏滯性的流體 流速場的curl = 0 ?
看板Physics作者Emcc (mass, momentum, energy)時間14年前 (2010/01/19 18:38)推噓1(1推 0噓 0→)留言1則, 1人參與討論串6/6 (看更多)
關於標題
"為何沒黏滯性的流體 流速場的curl = 0 ?"
事實上
無黏性的流場 curl(V)不一定等於0
ex. 1) 無黏性可壓縮流場 在經過shock wave之後 因為entropy上升
所以旋度會產生 (Crocco's equation)
2) 流場中有奇異點(singularity)
再來關於你提的機翼問題
先看數學上Green's Theorem的定義 :
一向量場V
沿一封閉路徑C "以逆時針方向" 對V做線積分 I
若該封閉路徑圍成區域為S
且"S內無singularity"
則在該範圍S內對curl(V)做面積分 = I
---
你說的機翼這個例子
不適用Green's Theorem
也不為curl(V)=0的流場
因為它存在singularity
首先
對機翼來說(觀察座標在機翼上)
流體由左至右 以均勻速度V流過機翼 (如圖)
→
→ A ˍ▂▃▄▅▄▃▂ˍ B
→
→
V
那麼沿機翼表面的速度場
"逆時針"積分一圈 B → A → B
是不等於零的
A → → B → →
I = ∫ V 。 ds + ∫ V 。 ds =\= 0
B A
沿上緣 沿下緣
我們知道流體有白努利原理(Bernoulli's principle)
因為機翼形狀是上下不對稱的
在A端分開的流體 必須在B端同時到達 (滿足continuity)
故機翼上緣速度會較快
下緣速度較慢
造成該線積分值是小於零的 I < 0
I 這個線積分在流力裡被定義為circulation
(circulation 逆時針旋轉為正 順時針旋轉為負)
好
現在機翼在流體中"移動"
(其實機翼對流體來說是一個singularity的存在)
所以流場中(機翼周圍)被搞出了一個 I = Γ < 0
又因為無黏性 故total circulation要守恆 (Kelvin's circulation theorem)
在機翼來之前
流場中的 total circulation=0
"機翼來了之後"
流體必須在流場中的某處(機翼的後方)
感應生成另一個circulation Γ' > 0
使得Γ + Γ' = 0
故"整個流場"保持 total circulation=0
所以在機翼後方
會看到一個向上捲起的旋渦
那個就是 Γ' > 0
要特別強調的是
以上所有的分析
都是屬於"potential flow theory"的範疇
基本假設就是 流場為無黏性
所以這個尾巴旋渦 Γ'
不是黏性邊界層剝離(boundary layer seperation)所造成的
而是為了要抵銷機翼所造成的Γ
以滿足"整個流場" total circulation=0 所形成
circulation Γ 在 "thin airfoil theory"中扮演十分重要的角色
機翼所獲得的升力 Lift = -ρVΓ
也就是有Γ的存在 機翼才能獲得升力 (當然也要有流場V)
至於怎麼產生Γ
除了這裡所述的"機翼形狀上下不對稱"
還可以利用"攻角"(機翼中心軸線與V夾一角度α)
或是 "弓形"(機翼中心軸線呈弧形) 來產生Γ
而實際機翼的設計上也會同時應用這三種方法
有興趣你可以去找"potential flow"的相關書籍
不過要先把複變(complex analysis)弄熟
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※ 編輯: Emcc 來自: 140.112.43.130 (01/19 18:41)
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01/19 19:44, , 1F
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